Jako zadanie domowe Alex otrzymał zadanie rozwiązania nierówności wykładniczej: $$ (0{,}25)^{2x-1} \leq 16 $$ Oddał pracę domową, ale nauczyciel uznał ją za niepoprawną.
(1) Alex zmodyfikował nierówność tak, aby zawierała potęgi o tej samej podstawie: $$ \begin{align} \left(\frac14\right)^{2x-1} & \leq 4^2 \cr \left(4^{-1} \right)^{2x-1} & \leq 4^2 \end{align} $$
(2) Następnie uprościł ją do: $$ 4^{-2x+1} \leq 4^2 $$
(3) Alex zdał sobie sprawę, że podstawy po obu stronach nierówności są równe, więc usunął je i kontynuował porównywanie tylko wykładników. Otrzymał: $$ -2x+1 \leq 2 $$ Ponieważ zrozumiał, że funkcja wykładnicza $y=4^x$ jest rosnąca, nie zmienił znaku nierówności.
(4) Alex rozwiązał nowo otrzymaną nierówność w następujący sposób: $$ \begin{align} -2x+1 & \leq 2 \cr -2x & \leq 1 \cr x & \leq -\frac12 \end{align} $$
Zbiór wszystkich rozwiązań to przedział $(-\infty ;-\frac12 \rangle$.
(5)Sprawdzanie nie jest konieczne, więc Alex pominął sprawdzanie. W którym kroku Alex popełnił błąd?
Popełnił błąd w kroku 2. Uproszczona nierówność powinna mieć postać: $$4^{2x-2}\leq 4^2 $$
Popełnił błąd w kroku (3). Powinien był odwrócić znak nierówności i otrzymać: $$-2x+1 \geq 2$$
Popełnił błąd w kroku 4. Poprawne rozwiązanie powinno brzmieć: $$ \langle - \frac12; \infty)$$
Popełnił błąd w kroku (5). Sprawdzenie jest istotną częścią rozwiązania.
Wszystkie kroki są poprawne z wyjątkiem kroku (4). Alex rozwiązał nierówność $$ -2x \leq 1 $$ dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną $(-2)$ i zapomniał odwrócić znak nierówności. Powinien otrzymać: $$ x\geq-\frac12 $$ Zbiór wszystkich rozwiązań nierówności jest wtedy przedziałem $ \langle -\frac12 ; \infty)$. Sprawdzanie nie jest konieczne.