Zadanie: Z puli losów o wartości $20$ oznaczonych różnymi liczbami od $1$ do $20$ wylosujemy jednocześnie losy o wartości $2$. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oba wylosowane losy będą miały liczby pierwsze?
Thomas obliczył:.
(1) W puli znajduje się łącznie $8$ losów oznaczonych liczbami pierwszymi.
(2) Prawdopodobieństwo, że pierwszy wylosowany los będzie miał liczbę pierwszą wynosi $\frac{8}{20}$.
(3) Jeśli pierwszy wylosowany los jest oznaczony liczbą pierwszą, to prawdopodobieństwo, że drugi wylosowany los również będzie miał liczbę pierwszą wynosi $\frac{8}{20}$.
(4) Zatem prawdopodobieństwo, że oba wylosowane losy będą miały liczby pierwsze wynosi $\frac{8}{20}\cdot\frac{8}{20} = 0{,}16$.
**Rozwiązanie Thomasa jest niepoprawne. Określ, gdzie popełnił błąd w swoim rozumowaniu.
Błąd tkwi w kroku (1). W przedziale $\langle1; 20\rangle$ istnieje tylko $7$ liczb pierwszych. Prawdopodobieństwo, że oba wylosowane losy będą miały liczby pierwsze wynosi $\frac{7}{20}\cdot\frac{7}{20}\approx 0{,}1225$.
Błąd tkwi w kroku (3). Jeśli pierwszy wylosowany kupon jest oznaczony liczbą pierwszą, to prawdopodobieństwo, że drugi wylosowany kupon również będzie miał liczbę pierwszą wynosi $\frac{7}{19}$. Wynikowe prawdopodobieństwo wynosi $\frac{8}{20}\cdot\frac{7}{19} \approx 0{,}1474$.
Błąd tkwi w kroku (4). Prawdopodobieństwo, że oba wylosowane kupony będą miały liczby pierwsze wynosi $\frac{8}{20} + \frac{8}{20} = 0{,}8$.
Błąd tkwi w kroku (4). Prawdopodobieństwo, że oba wylosowane kupony będą miały liczby pierwsze wynosi $1 - \left(\frac{8}{20} \cdot \frac{8}{20}\right) = 0{,}84$.