Wszystkie ściany drewnianego sześcianu o długości krawędzi wynoszącej $10\, \mathrm{cm}$ zostały pomalowane na niebieski kolor. Po wysuszeniu kostka została pocięta na $1000$ jednakowej wielkości małych kostek o długości krawędzi wynoszącej $1\, \mathrm{cm}$ każda. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo jedną z tych małych kostek, wylosujemy tę, która ma dokładnie dwie niebieskie ścianki?
Martina rozwiązała zadanie w następujący sposób:
(1) Drewniana kostka ma w sumie $12$ krawędzi.
(2) Każda krawędź oddziela $2$ niebieskie ściany.
(3) Na każdej krawędzi znajduje się $10$ takich małych kostek, które mają dokładnie $2$ niebieskie ściany, np. $120$ małe kostki mają dokładnie dwie niebieskie ściany.
(4) Prawdopodobieństwo wylosowania małej kostki z dwoma niebieskimi ścianami spośród $1000$ jest równe $\frac{120}{1000} = 0{,}12$.
**Martina popełniła błąd w kroku (3). Co to za błąd?
Małe sześciany zawierające wierzchołki oryginalnego sześcianu mają trzy niebieskie ściany. Dlatego na każdej krawędzi znajduje się tylko $8$ małych kostek z dwoma niebieskimi ścianami. Poprzez cięcie powstało łącznie $96$ $(=8\cdot12)$ kostek z dwiema niebieskimi ścianami.
Małe kostki zawierające wierzchołki oryginalnej kostki są liczone dwukrotnie. Zatem liczba małych sześcianów, które mają dokładnie dwie niebieskie ściany wynosi $112$ $(=120-8)$.
Małe kostki zawierające wierzchołki oryginalnej kostki są liczone trzy razy. Zatem całkowita liczba małych sześcianów, które mają dokładnie dwie niebieskie ściany wynosi $104$ $(=120 – 2\cdot8)$.
Małe sześciany zawierające wierzchołki oryginalnego sześcianu mają trzy niebieskie ściany. W związku z tym istnieje $8$ małych kostek z dwiema niebieskimi ścianami na każdej krawędzi, ale są one liczone dwukrotnie. Liczba małych sześcianów z dwiema niebieskimi ścianami wynosi $48$ $\left(=\frac{8\cdot12}{2}\right)$.
(1) Drewniana kostka ma łącznie $12$ krawędzi.
(2) Każda krawędź oddziela $2$ z jego niebieskich ścian.
(3) Jest $10$ sześcianów na każdej krawędzi. Jednak te, które zawierają wierzchołki oryginalnego sześcianu mają trzy niebieskie ściany. Istnieje zatem $8$ kostek na każdej krawędzi, które mają dokładnie $2$ niebieskie ściany np. $96$ kostek ma dokładnie dwie niebieskie ściany.
(4) Prawdopodobieństwo wylosowania małej kostki z dwoma niebieskimi ścianami spośród $1000$ jest $\frac{96}{1000} = 0{,}096$.