Uczniowie z klasy o liczebności $30$, z równą liczbą dziewcząt i chłopców, wybierają członków rady klasowej. Wybierają czterech przedstawicieli swojej klasy: przewodniczącego, wiceprzewodniczącego, skarbnika i florystę. Każdy uczeń może pełnić tylko jedną funkcję, a uczniowie uzgodnili, że rada powinna składać się z równej liczby dziewcząt i chłopców. Tomek obliczył, ile wariantów składu rady jest możliwych.
Rozwiązanie Tomka:
(1) W klasie jest $15$ dziewcząt i $15$ chłopców, spośród których należy wybrać $4$ członków rady. Zatem rada będzie się składać z $2$ dziewcząt i $2$ chłopców.
(2) Liczbę możliwych wyborów $2$ dziewcząt z $15$ można wyznaczyć jako liczbę uporządkowanych par z $15$ elementów, czyli $15\cdot 14 = 210$. Podobnie możemy określić liczbę możliwych wyborów $2$ chłopców z $15$, która również wynosi $15\cdot 14=210$.
(3) Zatem istnieje $210$ sposobów na wybranie pary dziewcząt i $210$ sposobów na wybranie pary chłopców. W sumie otrzymujemy $210\cdot 210=44\ 100$ różnych zestawów $4$ członków rady.
(4) Teraz musimy wziąć pod uwagę, że dla każdego zestawu $4$ członków rady istnieją $4!$ sposoby przypisania ich do różnych stanowisk w radzie. Łączna liczba możliwych wariantów składu rady klasowej wynosi $44\,100\cdot 4!=1\,058\,400$.
Rozwiązanie Toma jest nieprawidłowe. Określ, jak powinno wyglądać prawidłowe rozwiązanie i wskaż miejsce popełnienia błędu.
Błąd tkwi w kroku (2). Przy wybranej metodzie wyboru pary dziewczynek i pary chłopców ich kolejność nie ma znaczenia. Tomek powinien był obliczyć ich liczbę jako liczbę nieuporządkowanych par z $15$ elementów ($2$-kombinacji $15$-elementowego zbioru), czyli ${15 \choose 2}=105$. Liczba możliwych zestawów czterech elementów wynosi zatem $105\cdot 105=11\,025$. Ostateczna liczba wariantów rady klasy (zgodnie z krokiem 4) wynosi $11\,025\cdot 4!=264\,600$.
Błąd tkwi w kroku (4). Dla każdego zestawu czterech członków rady istnieją $2!\cdot 2!$ ("liczba permutacji dziewcząt" ∙ "liczba permutacji chłopców") sposoby przypisania im ról. Łączna liczba wariantów rady klasowej wynosi $44\,100 \cdot 2!\cdot 2!=167\,400$.
Błąd tkwi w kroku (3). Istnieje $210$ sposobów na wybranie pary dziewcząt i $210$ sposobów na wybranie pary chłopców. Łącznie mamy więc $210+201=420$ różnych zestawów czterech członków rady. Ostateczna liczba wariantów rady klasowej (zgodnie z krokiem 4) wynosi zatem $420\cdot 2!=10\ 800$.
Błąd jest w kroku (2). Tomek powinien był obliczyć liczbę par dziewcząt i chłopców jako liczbę uporządkowanych par z powtórzeniami z $15$ elementów ($2$-permutacje z powtórzeniami ze zbioru $15$ elementów), czyli $15^2=225$. Liczba możliwych zestawów czterech elementów wynosi więc $225\cdot 225=50\,625$. Ostateczna liczba wariantów rady klasy (zgodnie z krokiem 4) wynosi zatem $50\,625\cdot 4!=1\,215\,000$.