Dana jest funkcja $$ f(x) = 3 \cdot |x - a| + b,~\mathrm{gdzie~} a, b \in \mathbb{R}, $$ która spełnia $f(-2) = 1$ i $f \left(- \frac13\right) = 0$. Znajdź równanie tej funkcji.
Zadanie to została zadane dwóm przyjaciółkom, Beacie i Ewie. Obie postępowały w ten sam sposób w pierwszych dwóch krokach:
(1) Ponieważ $f(-2) = 1$, otrzymujemy $1 = 3 \cdot |-2 - a| + b$.
(2) Ponieważ $f\left(- \frac13\right) = 0$, otrzymujemy $0 = 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + b$.
Następnie przyjęły różne podejścia:
Beata:
(3) Na podstawie obu równań wyraziła wartość $b$: $$ \begin{aligned} b &= -3 \cdot |-2 - a| + 1 \cr b &= -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 \end{aligned} $$ Następnie zrównała te wyrażenia, otrzymując równanie: $$ -3 \cdot |-2 - a| + 1 = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 $$
(4) Następnie Beata rozwiązała otrzymane równanie poprzez podniesienie obu stron do kwadratu i uproszczenie: $$ \begin{gather} 1 - 6 \cdot (2 + a) + 9 \cdot (4 + 4a + a^2) = 9 \left(a^2 + \frac23 a + \frac19 \right) \cr 1 - 12 - 6a + 36 + 36a + 9a^2 = 9a^2 + 6a + 1 \cr 24a = -24 \cr a = -1 \end{gather} $$
(5)Na koniec podstawiła $a = -1$ do równania $b = -3 \cdot |-2 - a| + 1$ i otrzymała: $$ \begin{aligned} b &= -3 \cdot |-2 - (-1)| + 1 = -3 \cdot |-2 + 1| + 1 =\cr &= -3 \cdot |-1| + 1 = -3 \cdot 1 + 1 = -3 + 1 = -2 \end{aligned} $$ Doszła więc do wniosku, że równanie funkcji to: $$ f(x) = 3 \cdot |x + 1| - 2 $$
Eva:
(3) Wyraziła $b$ z równania $0 = 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + b$ jako: $$ b = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| $$ Następnie podstawiła $b$ do równania $1 = 3 \cdot |-2 - a| + b$: $$ 1 = 3 \cdot |-2 - a| - 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| $$ i zmodyfikowała go do postaci: $$ -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| = -3 \cdot |-2 - a| + 1 $$
(4) Podniosła równanie do kwadratu, aby wyeliminować wartości bezwzględne, a następnie uprościła je: $$ \begin{gather} 9 \cdot \left(a^2 + \frac19 \right) = 9 \cdot (4 + 4a + a^2) + 1 \cr 9a^2 + 1 = 36 + 36a + 9a^2 + 1 \cr -36a = 36 \cr a = -1 \end{gather} $$
(5) Na koniec podstawiła $a = -1$ do $b = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right|$ i uzyskała taki sam wynik jak Beata.
Obie koleżanki uzyskały ten sam wynik. Czy rozwiązały zadanie poprawnie?
Nie, nie zrobiły tego. Każda z nich popełniła błąd w swoich działaniach.
Nie, nie zrobiły tego. Beata popełniła błąd w swojej procedurze, jednak Eva rozwiązała zadanie poprawnie.
Nie, nie zrobiły tego. Eva popełniła błąd w swoich działaniach, natomiast Beata rozwiązała zadanie prawidłowo.
Tak, zarówno ich działania, jak i wyniki są prawidłowe.
Ewa wielokrotnie popełniała błędy przy podnoszeniu do kwadratu. Zamiast poprawnego $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, błędnie podniosła do kwadratu $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Beata popełniła błąd w kroku (4). Po poprawnym podniesieniu do kwadratu równania: $$ -3 \cdot |-2 - a| + 1 = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 $$ powinna pozostać jedna wartość bezwzględna. Jest to: $$ \begin{gather} 1 - 6 \cdot |2 + a| + 9 \cdot (4 + 4a + a^2) = 9 \left(a^2 + \frac23 a + \frac19\right) \cr 1 - 6 \cdot |2 + a| + 36 + 36a + 9a^2 = 9a^2 + 6a + 1 \end{gather} $$ Następnie oddzielamy wartość bezwzględną: $$ \begin{gather} -6 \cdot |2 + a| = 9a^2 + 6a + 1 - 1 - 36 - 36a - 9a^2 \cr -6 \cdot |2 + a| = -30a - 36 \end{gather} $$ i dzieląc przez $-6$ otrzymujemy: $$ |2 + a| = 5a + 6 $$ Ponownie podnosimy równanie do kwadratu: $$ \begin{gather} 4 + 4a + a^2 = 25a^2 + 60a + 36 \cr 24a^2 + 56a + 32 = 0 \cr 3a^2 + 7a + 4 = 0 \end{gather} $$ Następnie znajdujemy pierwiastki powyższego równania kwadratowego: $$ \begin{gather} a_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6} = \frac{-7 \pm 1}{6} \cr a_1 = \frac{-7 + 1}{6} = -1 \cr a_2 = \frac{-7 - 1}{6} = - \frac43 \end{gather} $$ Sprawdzenie jest konieczne, ponieważ użyliśmy przekształceń nierównoważnych. Nietrudno sprawdzić, że $a_1 = -1$ jest rozwiązaniem, podczas gdy $a_2 = - \frac43$ nie jest. Dla $a = -1$ otrzymujemy $b = -2$. Tak więc nasza funkcja $f$ jest dana równaniem: $$ f(x) = 3 \cdot |x + 1| - 2 $$ Obie dziewczynki doszły do poprawnego wyniku przez przypadek, ale ich procedura jest nieprawidłowa.