Uvažujme funkciu $$ f(x) = 3 \cdot |x - a| + b,~\mathrm{kde~} a, b \in \mathbb{R}, $$ ktorá spĺňa $f(-2) = 1$ a $f \left(- \frac13\right) = 0$. Nájdite rovnicu tejto funkcie.
Túto úlohu dostali dve kamarátky Beata a Eva. Obe postupovali v prvých dvoch krokoch rovnako:
(1) Keďže platí $f(-2) = 1$, dostaneme $1 = 3 \cdot |-2 - a| + b$.
(2) Keďže platí $f\left(- \frac13\right) = 0$, dostaneme $0 = 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + b$.
Potom použili rôzne prístupy:
Beata:
(3) Z oboch rovníc vyjadrila $b$: $$ \begin{aligned} b &= -3 \cdot |-2 - a| + 1 \cr b &= -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 \end{aligned} $$ Potom tieto výrazy porovnala, čím vznikla rovnica: $$ -3 \cdot |-2 - a| + 1 = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 $$
(4) Ďalej Beata vyriešila získanú rovnicu umocnením oboch strán a zjednodušením: $$ \begin{gather} 1 - 6 \cdot (2 + a) + 9 \cdot (4 + 4a + a^2) = 9 \left(a^2 + \frac23 a + \frac19 \right) \cr 1 - 12 - 6a + 36 + 36a + 9a^2 = 9a^2 + 6a + 1 \cr 24a = -24 \cr a = -1 \end{gather} $$
(5) Na záver, dosadila $a = -1$ do rovnice $b = -3 \cdot |-2 - a| + 1$ a dostala: $$ \begin{aligned} b &= -3 \cdot |-2 - (-1)| + 1 = -3 \cdot |-2 + 1| + 1 =\cr &= -3 \cdot |-1| + 1 = -3 \cdot 1 + 1 = -3 + 1 = -2 \end{aligned} $$ Takže dospela k záveru, že rovnica funkcie je: $$ f(x) = 3 \cdot |x + 1| - 2 $$
Eva:
(3) Vyjadrila $b$ z rovnice $0 = 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + b$ ako: $$ b = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| $$ Potom dosadila $b$ do rovnice $1 = 3 \cdot |-2 - a| + b$: $$ 1 = 3 \cdot |-2 - a| - 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| $$ a upravila ju do tvaru: $$ -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| = -3 \cdot |-2 - a| + 1 $$
(4) Umocnila rovnicu , aby odstránila absolútne hodnoty a potom ju ďalej zjednodušila: $$ \begin{gather} 9 \cdot \left(a^2 + \frac19 \right) = 9 \cdot (4 + 4a + a^2) + 1 \cr 9a^2 + 1 = 36 + 36a + 9a^2 + 1 \cr -36a = 36 \cr a = -1 \end{gather} $$ (5) Nakoniec dosadila $a = -1$ do $b = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right|$ a dostala rovnaký výsledok ako Beata.
Obe kamarátky dostali rovnaký výsledok. Vyriešili problém správne?
Nie. Každá z nich urobila vo svojich postupoch chybu.
Nie. Beata urobila pri svojom postupe chybu, Eva však posupovala správne.
Nie. Eva urobila pri svojom postupe chybu, Beata však postupovala správne.
Áno, ich postupy aj výsledky sú správne.
Eva opakovane robila chyby pri umocňovaní. Namiesto správneho vzorca $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, nesprávne umocňovala takto $(a + b)^2 = a^2 + b^2$.
Beata urobila chybu v kroku (4). Po správnom umocnení rovnice: $$ -3 \cdot |-2 - a| + 1 = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 $$ mala zostať jedna absolútna hodnota, a to: $$ \begin{gather} 1 - 6 \cdot |2 + a| + 9 \cdot (4 + 4a + a^2) = 9 \left(a^2 + \frac23 a + \frac19\right) \cr 1 - 6 \cdot |2 + a| + 36 + 36a + 9a^2 = 9a^2 + 6a + 1 \end{gather} $$ Ďalej osamostatníme absolútnu hodnotu: $$ \begin{gather} -6 \cdot |2 + a| = 9a^2 + 6a + 1 - 1 - 36 - 36a - 9a^2 \cr -6 \cdot |2 + a| = -30a - 36 \end{gather} $$ a po vydelení $-6$ dostaneme: $$ |2 + a| = 5a + 6 $$ Opäť umocníme: $$ \begin{gather} 4 + 4a + a^2 = 25a^2 + 60a + 36 \cr 24a^2 + 56a + 32 = 0 \cr 3a^2 + 7a + 4 = 0 \end{gather} $$ Následne hľadáme korene kvadratickej rovnice: $$ \begin{gather} a_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6} = \frac{-7 \pm 1}{6} \cr a_1 = \frac{-7 + 1}{6} = -1 \cr a_2 = \frac{-7 - 1}{6} = - \frac43 \end{gather} $$ Je nutné vykonať skúšku, pretože sme použili neekvivalentné úpravy. Nie je ťažké overiť, že $a_1 = -1$ je riešením, zatiaľ čo $a_2 = - \frac43$ nie je.
Pre $a = -1$ dostaneme $b = -2$. Skutočne naša funkcia $f$ je daná rovnicou: $$ f(x) = 3 \cdot |x + 1| - 2 $$ Obe dievčatá dospeli k správnemu výsledku náhodou, ale ich postup nebol správny