Je dána funkce $$ f(x) = 3 \cdot |x - a| + b,~\mathrm{kde~} a, b \in \mathbb{R}, $$ pro kterou platí $f(-2) = 1$ a $f \left(- \frac13\right) = 0$. Určete předpis této funkce.
Tuto úlohu měly řešit kamarádky Beáta a Eva. V prvních dvou krocích postupovaly obě stejně:
(1) Jelikož platí $f(-2) = 1$, dostaly $1 = 3 \cdot |-2 - a| + b$.
(2) Jelikož platí $f\left(- \frac13\right) = 0$, dostaly $0 = 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + b$.
V následujícím postupu se lišily:
Beáta:
(3) Z obou rovnic vyjádřila $b$: $$ \begin{aligned} b &= -3 \cdot |-2 - a| + 1 \cr b &= -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 \end{aligned} $$ Oba rovnající se výrazy zapsala do rovnice: $$ -3 \cdot |-2 - a| + 1 = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 $$
(4) Pak Beáta získanou rovnici řešila umocněním obou stran a následně zjednodušila: $$ \begin{gather} 1 - 6 \cdot (2 + a) + 9 \cdot (4 + 4a + a^2) = 9 \left(a^2 + \frac23 a + \frac19 \right) \cr 1 - 12 - 6a + 36 + 36a + 9a^2 = 9a^2 + 6a + 1 \cr 24a = -24 \cr a = -1 \end{gather} $$
(5) Nakonec dosadila $a = -1$ do rovnice $b = -3 \cdot |-2 - a| + 1$ a získala: $$ \begin{aligned} b &= -3 \cdot |-2 - (-1)| + 1 = -3 \cdot |-2 + 1| + 1 =\cr &= -3 \cdot |-1| + 1 = -3 \cdot 1 + 1 = -3 + 1 = -2 \end{aligned} $$ Došla tak k závěru, že hledaným předpisem funkce je: $$ f(x) = 3 \cdot |x + 1| - 2 $$
Eva:
(3) Vyjádřila $b$ z rovnice $0 = 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + b$ takto: $$ b = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| $$ Pak dosadila $b$ do rovnice $1 = 3 \cdot |-2 - a| + b$: $$ 1 = 3 \cdot |-2 - a| - 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| $$ a upravila do tvaru: $$ -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| = -3 \cdot |-2 - a| + 1 $$
(4) Aby se zbavila absolutních hodnot, rovnici umocnila. Následně ji upravila: $$ \begin{gather} 9 \cdot \left(a^2 + \frac19 \right) = 9 \cdot (4 + 4a + a^2) + 1 \cr 9a^2 + 1 = 36 + 36a + 9a^2 + 1 \cr -36a = 36 \cr a = -1 \end{gather} $$
(5) Na závěr dosadila $a = -1$ do $b = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right|$ a získala stejný výsledek jako Beáta.
Obě kamarádky došly ke stejnému výsledku. Byla jejich řešení správná?
Ne, nebyla. Každá z nich v postupu chybovala.
Ne, nebyla. Beáta ve svém postupu chybovala, Eva ale chybu neudělala.
Ne, nebyla. Eva ve svém postupu chybovala, Beáta ale chybu neudělala.
Ano, oba postupy i výsledky jsou správné.
Eva udělala opakovaně chybu při umocňování. Místo správného umocnění $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ chybně umocnila $(a + b)^2 = a^2 + b^2$.
Beáta udělala chybu v kroku (4). Po správném umocnění rovnice: $$ -3 \cdot |-2 - a| + 1 = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 $$ měla zůstat jedna absolutní hodnota: $$ \begin{gather} 1 - 6 \cdot |2 + a| + 9 \cdot (4 + 4a + a^2) = 9 \left(a^2 + \frac23 a + \frac19\right) \cr 1 - 6 \cdot |2 + a| + 36 + 36a + 9a^2 = 9a^2 + 6a + 1 \end{gather} $$ Pak osamostatníme tuto absolutní hodnotu: $$ \begin{gather} -6 \cdot |2 + a| = 9a^2 + 6a + 1 - 1 - 36 - 36a - 9a^2 \cr -6 \cdot |2 + a| = -30a - 36 \end{gather} $$ a po vydělení $-6$ získáme: $$ |2 + a| = 5a + 6 $$ Rovnici opět umocníme: $$ \begin{gather} 4 + 4a + a^2 = 25a^2 + 60a + 36 \cr 24a^2 + 56a + 32 = 0 \cr 3a^2 + 7a + 4 = 0 \end{gather} $$ Pak najdeme kořeny této kvadratické rovnice: $$ \begin{gather} a_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6} = \frac{-7 \pm 1}{6} \cr a_1 = \frac{-7 + 1}{6} = -1 \cr a_2 = \frac{-7 - 1}{6} = - \frac43 \end{gather} $$ Je nezbytné provést zkoušku, protože umocnění rovnice je důsledkovou úpravou. Není těžké ověřit, že $a_1 = -1$ je řešením, zatímco $a_2 = - \frac43$ není.
Pro $a = -1$ dostaneme $b = -2$. A tedy skutečně je funkce $f$ dána předpisem: $$ f(x) = 3 \cdot |x + 1| - 2 $$ Obě kamarádky tak sice náhodou došly ke správnému řešení, ale jejich postupy byly chybné.