Podczas powtórki przed testem Piotr postanowił odrobić pracę domową. Jego zadaniem było napisanie równania funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty $M= [-2, -1]$ i $N= [3, 3]$.
Piotr wiedział, że musi znaleźć nieznane współczynniki $a$ i $b$ w równaniu $y=ax+b$. Ponieważ nie był pewien, jak zacząć, narysował oba punkty na płaszczyźnie współrzędnych.
Widząc wykres, zdał sobie sprawę, że na zajęciach uczono go, by wyznaczać współczynnik $a$ jako stosunek długości czerwonego i niebieskiego odcinka linii. Napisał więc: $$ a=\frac54 $$ Aby znaleźć $b$, postanowił podstawić współrzędne punktu $M$ do równania prostej: $$ y=\frac54 x+b $$ ponieważ $M$ leży na wykresie tej funkcji liniowej. Otrzymał: $$ \begin{aligned} -1 &=\frac54 (-2)+b \cr -1 &=-\frac52+b \cr b & =\frac32 \end{aligned} $$ W ten sposób zapisał równanie funkcji liniowej jako: $$ y=\frac54 x+\frac32 $$ Koledzy Petera z klasy skomentowali jego rozwiązanie w następujący sposób:
Mirek stwierdził, że długości czerwonego i niebieskiego odcinka prostej nie są związane ze współczynnikami "$a$" i "$b$". Jedyną poprawną procedurą jest podstawienie współrzędnych obu punktów do równania prostej i rozwiązanie powstałego układu równań.
Zdena twierdziła, że możemy użyć długości odcinków prostej do wyznaczenia współczynnika "$a$", ale poprawną odpowiedzią powinno być:
$$
a=\frac45
$$
Monika stwierdziła, że długość czerwonego odcinka linii jest równa współczynnikowi "$a$", a długość niebieskiego odcinka linii jest równa współczynnikowi "$b$". Równanie linii powinno wyglądać następująco: $$ y=5x+4 $$
Martin stwierdził, że Peter poprawnie znalazł współczynnik "$a$", ale popełnił błąd przy podstawianiu współrzędnych $M$. Równanie, które otrzymał powinno wyglądać następująco: $$ -2=\frac54 (-1)+b $$
Anne w pełni zgodziła się z rozwiązaniem Petera i stwierdziła, że jest ono poprawne.
Który z kolegów Petera ma rację?
Zdena
Anne
Mirek
Martin
Monika
Nikt
Jeśli mamy dwa punkty $M=[x_1,y_1]$ i $N=[x_2,y_2]$, gdzie $x_1\neq x_2$, współczynnik "$a$" można obliczyć ze wzoru: $$ a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$
W naszym przypadku $M=[-2,-1]$ i $N=[3,3]$, więc różnica $y_2-y_1$ wynosi $4$ (długość niebieskiego odcinka), a różnica $x_2-x_1$ wynosi $5$ (długość czerwonego odcinka). Ogólnie rzecz biorąc, musimy być ostrożni, ponieważ różnice $y_2-y_1$ i $x_2-x_1$ mogą być ujemne, podczas gdy długości odcinków nie mogą być ujemne.
