Během přípravy na test Petr narazil na úlohu, v níž měl určit předpis lineární funkce, jejíž graf prochází body $M= [-2, -1]$ a $N= [3, 3]$.
Petr věděl, že hledá neznámé koeficienty $a$ a $b$ v rovnici $y=ax+b$. Protože netušil, jak začít, zakreslil si oba body do soustavy souřadnic.
Když si obrázek prohlédl, vzpomněl si, že ve škole určili konstantu $a$ jako podíl délek červené a modré úsečky.
Napsal si tedy: $$ a=\frac54 $$ Aby našel koeficient $b$, rozhodl se využít toho, že bod $M$ náleží grafu této funkce. Dosadil tedy souřadnice bodu $M$ do předpisu funkce: $$ y=\frac54 x+b $$ Získal: $$ \begin{aligned} -1 &=\frac54 (-2)+b \cr -1 &=-\frac52+b \cr b & =\frac32 \end{aligned} $$ Zapsal si tedy hledaný předpis: $$ y=\frac54 x+\frac32 $$ Petrovi spolužáci jeho postup komentovali takto:
Mirek prohlásil, že délky červené a modré úsečky nijak nesouvisejí s koeficienty "$a$" a "$b$". Podle něj jediným možným způsobem řešení úlohy je dosazení souřadnic obou zadaných bodů do předpisu lineární funkce a následné řešení soustavy rovnic.
Zdena tvrdila, že můžeme použít délky úseček k určení koeficientu "$a$", ale správně má být:
$$
a=\frac45
$$
Monika tvrdila, že délka červené úsečky odpovídá koeficientu "$a$" a délka modré úsečky odpovídá koeficientu "$b$". Hledaný předpis je: $$ y=5x+4 $$
Martin prohlásil, že Petr správně určil koeficient "$a$", ale udělal chybu při dosazování souřadnic bodu $M$. Mělo mu vyjít: $$ -2=\frac54 (-1)+b $$
Anička plně souhlasila s Petrovým postupem a prohlásila, že jeho řešení je správné.
Kdo z Petrových spolužáků měl pravdu?
Zdena
Anička
Mirek
Martin
Monika
Nikdo
Jestliže známe dva body $M=[x_1,y_1]$ a $N=[x_2,y_2]$, kdy $x_1\neq x_2$, koeficient "$a$" můžeme vypočítat podle vzorce: $$ a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$
V našem případě $M=[-2,-1]$ a $N=[3,3]$, takže rozdíl $y_2-y_1$ je roven $4$ (délka modré úsečky) a rozdíl $x_2-x_1$ je roven $5$ (délka červené úsečky). Obecně musíme dát pozor, protože rozdíly $y_2-y_1$ a $x_2-x_1$ mohou být záporné, ale délky úsečky ne.
