Repasando para el examen, Peter decició hacer sus deberes. Se le había encargado escribir la ecuación de una función lineal cuya gráfica pasara por los puntos $M= [-2, -1]$ y $N= [3, 3]$.
Peter sabía que necesitaba hallar los coeficientes $a$ y $b$ de la fórmula general $y=ax+b$. Como no estaba seguro de cómo empezar, dibujó ambos puntos en un plano cartesiano.
Viendo la gráfica, se dio cuenta de que en clase le habían enseñado a calcular el coeficiente $a$ como el cociente de las longitudes de los segmentos rojo y azul. Por lo tanto, escribió: $$ a=\frac54 $$ Para calcular $b$, decidió sustituir las coordenadas del punto $M$ en la fórmula general de la función lineal: $$ y=\frac54 x+b $$ porque $M$ pertenece a la gráfica de la función lineal. Obtuvo: $$ \begin{aligned} -1 &=\frac54 (-2)+b \cr -1 &=-\frac52+b \cr b & =\frac32 \end{aligned} $$ Entonces, escribió la ecuación de la función lineal como: $$ y=\frac54 x+\frac32 $$ Los compañeros de Peter comentaron su solución como se muestra a continuación:
Mirek afirmó que las longitudes de los segmentos rojo y azul no están relacionadas con los coeficientes "$a$" y "$b$". El único procedimiento correto es sustituir las coordenadas de ambos puntos en la ecuación general de la función lineal y resolver el sistema de ecuaciones resultante.
Zdena afirmó que se pueden usar las longitudes de los segmentos para determinar el coeficiente "$a$", pero la respuesta correcta debería ser:
$$
a=\frac45
$$
Monika afirmó que la longitud del segmento rojo es igual al valor del coeficiente "$a$" y la longitud del segmento azul es igual al valor del coeficiente "$b$". La ecuación de la función lineal debería ser: $$ y=5x+4 $$
Martin afirmó que Peter había hallado correctamente el coeficiente "$a$" pero había cometido un error sustituyendo las coordenadas de $M$. La ecuación obtenida debería haber sido: $$ -2=\frac54 (-1)+b $$
Anne estaba totalmente de acuerdo con la solución de Peter.
¿Cuál de los compañeros de Peter tiene razón?
Zdena
Anne
Mirek
Martin
Monika
Ninguno
Si se dan dos puntos $M=[x_1,y_1]$ y $N=[x_2,y_2]$, donde $x_1\neq x_2$, el coeficiente "$a$" se puede calcular con la fórmula: $$ a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$
En nuestro caso $M=[-2,-1]$ y $N=[3,3]$, luego la diferencia $y_2-y_1$ es igual a $4$ (longitud del segmento azul) y la diferencia $x_2-x_1$ es igual a $5$ (longitud del segmento rojo). En general, debemos tener cuidado porque las diferencias $y_2-y_1$ y $x_2-x_1$ pueden ser negativas, mientras que las longitudes de los segmento no pueden serlo.
