$\frac{(1+\mathrm{tg}^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$

Gabriela próbowała uprościć wyrażenie: $$\frac{(1+\mathrm{tg}^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$$

**W którym kroku swojego rozwiązania Gabriela popełniła błąd?

Rozwiązanie Gabrieli:

Najpierw Gabriela postanowiła znaleźć dziedzinę podanego wyrażenia.

-Zdała sobie sprawę, że mianownik $2-\cos^2 x$ jest zdefiniowany $\forall x \in\mathbb{R}$. Zauważyła, że $-1\leq\cos^2 x\leq1$, więc mianownik nie jest równy zero dla żadnego $x\in\mathbb{R}$. - Następnie stwierdziła, że wyrażenie $-1-\sin^2 x$ w liczniku jest również zdefiniowana $\forall x\in\mathbb{R}$. - Ponadto zauważyła, że wyrażenie $1+\mathrm{tg}^2 x$ w liczniku jest zdefiniowana $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\left\{(2k+1)\frac{\pi}{2};k\in\mathbb{Z}\right\}$.

Gabriela doszła do wniosku, że dziedziną podanego wyrażenia jest:

$$\mathbb{R}\backslash\left\{(2k+1)\frac{\pi}{2};k\in\mathbb{Z}\right\}$$ Następnie uprościła podane wyrażenie dla określonej domeny ($\forall x\neq(2k+1)\frac{\pi}{2}$, gdzie $k\in\mathbb{Z}$) .Wykonała następujące czynności. \begin{aligned} \frac{(1+\mathrm{tg}^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}&\stackrel{(1)}=\frac{\left(1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x}\stackrel{(2)}=\cr &\stackrel{(2)}=\frac{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x} \stackrel{(3)}=\cr &\stackrel{(3)}=\frac{\frac{1}{\cos^2 x}(-\cos^2 x)}{2-\cos^2 x}\stackrel{(4)}=\cr &\stackrel{(4)}=\frac{-1}{2-\cos^2 x} \stackrel{(5)}=\cr &\stackrel{(5)}=\frac{1}{\cos^2 x-2}\end{aligned}