$\frac{(1+\mathrm{tg}^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$

Gabriela se snažila zjednodušit výraz: $$\frac{(1+\mathrm{tg}^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$$

Ve kterém kroku svého řešení udělala Gabriela chybu?

Gabrielino řešení:

Nejprve se Gabriela rozhodla najít definiční obor daného výrazu.

• Uvědomila si, že jmenovatel $2-\cos^2 x$ je definován $\forall x \in\mathbb{R}$, protože platí $-1\leq\cos^2 x\leq1$, takže jmenovatel není roven nule pro žádné $x\in\mathbb{R}$.
• Výraz $-1-\sin^2 x$ v čitateli je také definován $\forall x\in\mathbb{R}$.
• Výraz $1+\mathrm{tg}^2 x$ je definován $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\left\{(2k+1)\frac{\pi}{2};k\in\mathbb{Z}\right\}$.

Gabriela dospěla k závěru, že definiční obor daného výrazu je:

$$\mathbb{R}\backslash\left\{(2k+1)\frac{\pi}{2};k\in\mathbb{Z}\right\}$$ Zjednodušila daný výraz v určeném definičním oboru ($\forall x\neq(2k+1)\frac{\pi}{2}$, kde $k\in\mathbb{Z}$) následujícími kroky. \begin{aligned} \frac{(1+\mathrm{tg}^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}&\stackrel{(1)}=\frac{\left(1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x}\stackrel{(2)}=\cr &\stackrel{(2)}=\frac{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x} \stackrel{(3)}=\cr &\stackrel{(3)}=\frac{\frac{1}{\cos^2 x}(-\cos^2 x)}{2-\cos^2 x}\stackrel{(4)}=\cr &\stackrel{(4)}=\frac{-1}{2-\cos^2 x} \stackrel{(5)}=\cr &\stackrel{(5)}=\frac{1}{\cos^2 x-2}\end{aligned}