Gabriela intentó simplificar la expresión: $$\frac{(1+\tan^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$$
¿En qué paso de su solución se equivocó Gabriela?
La solución de Gabriela:
Primero, Gabriela decidió encontrar el dominio de la expresión dada.
- Se dio cuenta de que el denominador $2-\cos^2 x$ se define $\forall x \in\mathbb{R}$. Observó que $-1\leq\cos^2 x\leq1$, por lo que el denominador no es igual a cero para ningún $x\in\mathbb{R}$.
- Luego, afirmó que la expresión $-1-\sin^2 x$ en el numerador también está definida $\forall x\in\mathbb{R}$.
- Además, observó que la expresión $1+\tan^2 x$ en el numerador está definida $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\left\{(2k+1)\frac{\pi}{2};k\in\mathbb{Z}\right\}$.
Gabriela concluyó que el dominio de la expresión dada es:
$$\mathbb{R}\backslash\left\{(2k+1)\frac{\pi}{2};k\in\mathbb{Z}\right\}$$ A continuación, simplificó la expresión dada para el dominio determinado ($\forall x\neq(2k+1)\frac{\pi}{2}$, donde $k\in\mathbb{Z}$). Realizó los siguientes pasos. \begin{aligned} \frac{(1+\tan^2 x)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}&\stackrel{(1)}=\frac{\left(1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x}\stackrel{(2)}=\cr &\stackrel{(2)}=\frac{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x} \stackrel{(3)}=\cr &\stackrel{(3)}=\frac{\frac{1}{\cos^2 x}(-\cos^2 x)}{2-\cos^2 x}\stackrel{(4)}=\cr &\stackrel{(4)}=\frac{-1}{2-\cos^2 x} \stackrel{(5)}=\cr &\stackrel{(5)}=\frac{1}{\cos^2 x-2}\end{aligned}
El error está en el paso (1). La simplificación correcta debería ser: $$\frac{\left(1+\tan^2 x\right)\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x}=\frac{\left(1+\frac{cos^2 x}{\sin^2 x}\right)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$$
El error está en el paso (2). La simplificación correcta debería ser: $$\frac{\left( 1+\frac{sin^2 x}{\cos^2 x}\right)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}=\frac{\frac{1+\sin^2 x}{\cos^2 x} (-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}$$
El error está en el paso (3). La simplificación correcta debería ser: $$\frac{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}=\frac{\frac{-1}{\cos^2 x}(1+\sin^2 x)}{1+(1-\cos^2 x)}$$
El error está en el paso (5). La simplificación correcta debería ser: $$\frac{-1}{2-\cos^2 x}=\frac{1}{2+\cos^2 x}$$
Demostremos la simplificación correcta para el dominio de la expresión: \begin{aligned} \frac{\left(1+\tan^2 x\right)\left(-1-\sin^2 x\right)}{2-\cos^2 x}&=\frac{\left(1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\right)(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}=\cr &=\frac{\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}(-1-\sin^2 x)}{2-\cos^2 x}=\frac{\frac{-1}{\cos^2 x}\left(1+\sin^2 x\right)}{1+(1-\cos^2 x)}=\cr &=\frac{\frac{-1}{\cos^2 x}(1+\sin^2 x)}{1+\sin^2 x}=-\frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}