Cecil miał za zadanie obliczyć $\cos\frac{x}{2}$ bez użycia kalkulatora. Ponadto wiedział, że: $$\sinx=-\frac{\sqrt{56}}{9},\ \mathrm{ i }\ x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right).$$
**W którym kroku swojego rozwiązania Cecil popełnił błąd?
Rozwiązanie Cecila:
(1) Cecil stwierdził, że $\cos^2x=1-\sin^2x$ i dlatego: $$\cos^2x=1-\frac{56}{81}$$
(2) Z tej równości, wyraził $\cos x$: $$cosx=\frac59$$
(3) Co więcej, Cecil stwierdził, że $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\cosx}{2}}$$ i dlatego może zapisać: $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\frac59}{2}}$$ (4) Wreszcie, z powyższej równości, Cecil wyraził $\cos\frac{x}{2}$ as: $$\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt7}{3}$$
Błąd tkwi w kroku (1). Użyta przez Cecila tożsamość trygonometryczna nie jest prawdziwa. Prawidłowa równość powinna brzmieć: $$\cos^2x=1+\frac{56}{81}$$
Błąd tkwi w kroku (2). Ponieważ $x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right)$, wynika z tego, że $\cosx<0$. Dlatego powinno być: $$\cosx=-\frac59$$
Błąd występuje w kroku (3). Cecil nieprawidłowo użył tożsamości trygonometrycznej. Powinno być: $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{9}}{2}}$$
Błąd tkwi w kroku (4). Ponieważ $x\in\left(\frac32 \pi,2\pi\right)$ wynika, że $\frac{x}{2}\in\left(\frac34\pi,\pi\right)$. Zatem, $\cos\frac{x}{2}<0$ a więc: $$\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$