Cecil dostal za úlohu vypočítať $\cos\frac{x}{2}$ bez kalkulačky. Navyše vedel, že: $$\sinx=-\frac{\sqrt{56}}{9}\ \mathrm{ a }\ x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right).$$
V ktorom kroku riešenia urobil Cecil chybu?
Cecil vyriešil úlohu nasledovne:
(1) Cecil tvrdil že, platí $\cos^2x=1-\sin^2x$ a preto: $$\cos^2x=1-\frac{56}{81}$$
(2) Z tejto rovnice vyjadril $\cos x$: $$cosx=\frac59$$
(3) Následne Cecil tvrdil, že $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\cosx}{2}}$$ a teda môže napísať: $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\frac59}{2}}$$ (4) Nakoniec z tejto rovnosti Cecil vyjadril $\cos\frac{x}{2}$ ako: $$\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt7}{3}$$
Chyba je v kroku (1). Vzťah $\cos^2x=1-\sin^2x$, ktorý Cecil použil nie je pravdivý. Správne by malo byť: $$\cos^2x=1+\frac{56}{81}$$
Chyba je v kroku (2). Keďže $x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right)$, vyplýva z toho, že $\cosx<0$. Preto by malo platiť: $$\cosx=-\frac59$$
Chyba je v kroku (3). Cecil nesprávne použil vzťah $\cos^2x=1-\sin^2x$. Malo byť: $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{9}}{2}}$$
Chyba je v kroku (4). Keďže $x\in\left(\frac32 \pi,2\pi\right)$, vyplýva z toho, že $\frac{x}{2}\in\left(\frac34\pi,\pi\right)$. Preto $\cos\frac{x}{2}<0$ a teda: $$\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$