Cecil se snažil bez kalkulačky vypočítat $\cos\frac{x}{2}$. Věděl, že: $$\sinx=-\frac{\sqrt{56}}{9},\ \mathrm{ a }\ x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right)$$
Ve kterém kroku svého řešení udělal Cecil chybu?
Cecilovo řešení:
(1) Cecil tvrdil, že $\cos^2x=1-\sin^2x$ a proto platí: $$\cos^2x=1-\frac{56}{81}$$
(2) Z této rovnosti vyjádřil $\cos x$: $$\cosx=\frac59$$
(3) Dále Cecil tvrdil, že $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\cosx}{2}}$$ a proto může napsat: $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\frac59}{2}}$$ (4) Nakonec z výše uvedené rovnosti Cecil vyjádřil $\cos\frac{x}{2}$: $$\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt7}{3}$$
Chyba je v kroku (1). Správná rovnice je: $$\cos^2x=1+\frac{56}{81}$$
Chyba je v kroku (2). Jelikož $x\in\left(\frac32\pi,2\pi\right)$, je $\cosx<0$. Proto by mělo platit: $$\cosx=-\frac59$$
Chyba je v kroku (3). Správná rovnice je: $$\left|\cos\frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{9}}{2}}$$
Chyba je v kroku (4). Protože $x\in\left(\frac32 \pi,2\pi\right)$, platí $\frac{x}{2}\in\left(\frac34\pi,\pi\right)$. Proto, $\cos\frac{x}{2}<0$ a tedy: $$\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$