Kąt linii i płaszczyzny

Biorąc pod uwagę punkty $P=[3; 1; -4]$ i $Q=[5; -2; -1]$, i ogólne równanie płaszczyzny $\rho:\ 3x - 2y + z - 4 = 0$. Oblicz kąt linii $PQ$ i płaszczyzny $\rho$.

Alice rozwiązała ten problem w następujących krokach:.

(1) Po pierwsze, napisała wzór na określenie kąta $$\cos\varphi=\left|\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}}{\left|\ \overrightarrow{u}\ \right|\cdot\left|\overrightarrow{n_{\rho}}\right|}\right|,$$

gdzie:

• $\varphi$ jest kątem prostej $PQ$ i płaszczyzny $\rho$,
• $\overrightarrow{u}$ jest wektorem kierunku linii $PQ$,
• $\overrightarrow{n_{\rho}}$ jest wektorem normalnym płaszczyzny $\rho$.

(2) Następnie obliczyła współrzędne wektora kierunku linii $PQ$: $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}= Q - P = (2; -3; 3)$$ i wyznaczył współrzędne wektora normalnego płaszczyzny $\rho$: $$\overrightarrow{n_{\rho}}= (3; -2; 1).$$

(3) Następnie zastąpiła $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{n_{\rho}}$ do wzoru i obliczyła wartość $\cos\varphi$: \begin{aligned} \cos\varphi&=\left|\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}}{\left|\ \overrightarrow{u}\ \right|\cdot\left|\overrightarrow{n_{\rho}}\right|}\right|=\left|\frac{(2; -3; 3)\cdot (3; -2; 1)}{\left|(2; -3; 3)\right|\cdot\left|(3; -2; 1)\right|}\right|=\cr &=\left|\frac{2\cdot3 +(-3)\cdot(-2)+3\cdot1}{\sqrt{2^2+(-3)^2+ 3^2}\cdot\sqrt{3^2+(-2)^2+ 1^2}}\right|=\cr &=\left|\frac{6 + 6 + 3}{\sqrt{4 + 9 + 9}\cdot\sqrt{9 + 4 + 1}}\right|=\cr &=\left|\frac{15}{\sqrt{22}\cdot\sqrt{14}}\right|=\frac{15}{\sqrt{308}}. \end{aligned}

(4) Na koniec, używając kalkulatora, obliczyła $\varphi$: $$\varphi= \arccos\left(\frac{15}{\sqrt{308}}\right)= 31^{\circ}16'22''.$$ Czy rozwiązanie Alicji jest poprawne? Jeśli nie, określ, gdzie Alicja popełniła błąd w procedurze.