Odchylka přímky a roviny

Jsou dány body $P=[3; 1; -4]$, $Q=[5; -2; -1]$ a obecná rovnice roviny $\rho:\ 3x - 2y + z - 4 = 0$. Vypočítejte odchylku přímky $PQ$ a roviny $\rho$.

Alice vyřešila tuto úlohu v následujících krocích:

(1) Nejprve zapsala vztah na výpočet odchylky: $$\cos\varphi=\left|\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}}{\left|\ \overrightarrow{u}\ \right|\cdot\left|\overrightarrow{n_{\rho}}\right|}\right|,$$

kde:

• $\varphi$ je úhel přímky $PQ$ a roviny $\rho$,
• $\overrightarrow{u}$ je směrový vektor přímky $PQ$,
• $\overrightarrow{n_{\rho}}$ je normálový vektor roviny $\rho$.

(2) Potom vypočítala souřadnice směrového vektoru přímky $PQ$: $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}= Q - P = (2; -3; 3)$$ a určila souřadnice normálového vektoru roviny $\rho$: $$\overrightarrow{n_{\rho}}= (3; -2; 1).$$

(3) Dále do vztahu dosadila souřadnice vektorů $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{n_{\rho}}$ a vypočítala hodnotu $\cos\varphi$: \begin{aligned} \cos\varphi&=\left|\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}}{\left|\ \overrightarrow{u}\ \right|\cdot\left|\overrightarrow{n_{\rho}}\right|}\right|=\left|\frac{(2; -3; 3)\cdot (3; -2; 1)}{\left|(2; -3; 3)\right|\cdot\left|(3; -2; 1)\right|}\right|=\cr &=\left|\frac{2\cdot3 +(-3)\cdot(-2)+3\cdot1}{\sqrt{2^2+(-3)^2+ 3^2}\cdot\sqrt{3^2+(-2)^2+ 1^2}}\right|=\cr &=\left|\frac{6 + 6 + 3}{\sqrt{4 + 9 + 9}\cdot\sqrt{9 + 4 + 1}}\right|=\cr &=\left|\frac{15}{\sqrt{22}\cdot\sqrt{14}}\right|=\frac{15}{\sqrt{308}}. \end{aligned}

(4) Nakonec pomocí kalkulačky vypočítala velikost úhlu $\varphi$: $$\varphi= \arccos\left(\frac{15}{\sqrt{308}}\right)= 31^{\circ}16'22''.$$ Je řešení Alice správné? Pokud ne, určete, kde udělala v postupu chybu.