Ángulo entre Recta y Plano

Dados los puntos $P=[3; 1; -4]$ y $Q=[5; -2; -1]$, y la ecuación general del plano $\rho:\ 3x - 2y + z - 4 = 0$. Calcula el ángulo que forman la recta $PQ$ y el plano $\rho$.

Alice resolvió este problema mediante los siguientes pasos:

(1) Primero, escribió la fórmula para determinar el ángulo entre dos vectores $$\cos\varphi=\left|\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}}{\left|\ \overrightarrow{u}\ \right|\cdot\left|\overrightarrow{n_{\rho}}\right|}\right|,$$

donde:

• $\varphi$ es el ángulo de la recta $PQ$ con el plano $\rho$,
• $\overrightarrow{u}$ es un vector director de la recta $PQ$,
• $\overrightarrow{n_{\rho}}$ es un vector normal del plano $\rho$.

(2) Luego, calculó las coordenadas del vector director de la recta $PQ$: $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{PQ}= Q - P = (2; -3; 3)$$ y determinó las coordenadas del vector normal del plano $\rho$: $$\overrightarrow{n_{\rho}}= (3; -2; 1).$$

(3) Después, sustituyó $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{n_{\rho}}$ en la fórmula y calculó el valor de $\cos\varphi$: \begin{aligned} \cos\varphi&=\left|\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n_{\rho}}}{\left|\ \overrightarrow{u}\ \right|\cdot\left|\overrightarrow{n_{\rho}}\right|}\right|=\left|\frac{(2; -3; 3)\cdot (3; -2; 1)}{\left|(2; -3; 3)\right|\cdot\left|(3; -2; 1)\right|}\right|=\cr &=\left|\frac{2\cdot3 +(-3)\cdot(-2)+3\cdot1}{\sqrt{2^2+(-3)^2+ 3^2}\cdot\sqrt{3^2+(-2)^2+ 1^2}}\right|=\cr &=\left|\frac{6 + 6 + 3}{\sqrt{4 + 9 + 9}\cdot\sqrt{9 + 4 + 1}}\right|=\cr &=\left|\frac{15}{\sqrt{22}\cdot\sqrt{14}}\right|=\frac{15}{\sqrt{308}}. \end{aligned}

(4) Por último, usando la calculadora, obtuvo $\varphi$: $$\varphi= \arccos\left(\frac{15}{\sqrt{308}}\right)= 31^{\circ}16'22''.$$ ¿Es correcta la solución de Alice? En caso negativo, determina dónde cometió algún error.