La gráfica de la función cuadrática $$ f(x)=2x^2+4x-6 $$ es una parábola. A Emil se le encargó determinar las coordenadas de su vértice $V=[v_1,v_2]$.
Emil procedió como sigue:
(1) Se dio cuenta de que para una función cuadrática: $$ f(x)=ax^2+bx+c $$ existe una fórmula para la primera coordenada del vértice: $$ v_1=-\frac{b}{2a} $$ Sustituyó $a=2$, $b=4$ y así obtuvo: $$ v_1=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1 $$
(2) Emil calculó la segunda coordenada $v_2$ sustituyendo $v_1=-1$ por $x$ en la ecuación de la función: $$ v_2=f(v_1)=2v_1^2+4v_1-6=2(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8 $$
(3) Encontró que las coordenadas del vértice eran: $$ V=[-1,-8] $$
Suzan no estaba de acuerdo con Emil. Ella se opuso a su procedimiento e insistió en el suyo:
(1) Suzan determinó las intersecciones de la gráfica de la función cuadrática dada con el eje $x$ by resolviendo la ecuación $f(x)=0$, que es $2x^2+4x-6=0$. Utilizando la fórmula cuadrática, obtuvo: $$ x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{4}=\frac{-4\pm 8}{4} $$ y así: $$ x_1=\frac{-4+8}{4}=1,~ x_2=\frac{-4-8}{4}=-3 $$
Como una parábola es simétrica respecto al eje vertical que pasa por el vértice de la parábola, la coordenada $v_1$ es exactamente el punto medio entre los puntos $x_1=1$ y $x_2=-3$. Del diagrama se deduce que: $$ v_1=-1 $$
Suzan estuvo de acuerdo en que los pasos (2) y (3) del procedimiento de Emil son correctos y siguió procediendo de forma idéntica. Así, ella también llegó a las coordenadas de los vértices: $$ V=[-1,-8] $$
Robert observó detenidamente sus planteamientos y decidió que el procedimiento podía simplificarse. Utilizó el método de «completar el cuadrado».
(1) En la ecuación de la función: $$ f(x)=2x^2+4x-6 $$
dedujo el coeficiente del término cuadrático de los términos cuadrático y lineal: $$ f(x)=2(x^2+2x)-6 $$
(2) Completó el binomio cuadrático del paréntesis a un trinomio $x^2+2x+1$, de forma que sea igual al cuadrado del binomio $x+1$, es decir: $$ x^2+2x+1= (x+1)^2 $$
Escribió la ecuación de las funciones como:
$$ f(x)=2(x^2+2x+1-1)-6 $$
(sumar y restar $1$ no cambia el valor de la expresión).
(3) Finalmente, simplificó la ecuación a: $$ \begin{aligned} f(x)&=2(x+1)^2-2\cdot 1-6 \cr f(x)&=2(x+1)^2-8 \end{aligned} $$
(4) A partir de esta forma de ecuación, Robert determinó las coordenadas de $V$: $$ V=[-1,-8] $$
Encuentra la afirmación verdadera:
Los procedimientos de todos los estudiantes son correctos.
Sólo el enfoque de Suzan es correcto.
Sólo el enfoque de Robert es correcto.
Sólo el enfoque de Emil es correcto.
La información dada no es suficiente para encontrar las coordenadas del vértice.
Robert y Emil han aplicado el método general para resolver este problema. El procedimiento de Suzan es correcto pero no se puede aplicar si la ecuación cuadrática correspondiente $f(x)=0$ no tiene solución.
