Hallar un ángulo $x$ que resuelva la ecuación: $$3\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)=4-7\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)$$ Utiliza una calculadora para calcular ángulos. Redondea el ángulo resultante a un decimal.
Solución de Jana:
(1) Trasladando todos los términos del coseno a un lado de la ecuación y combinándolos, Jana obtuvo la ecuación simplificada: \begin{aligned} 10\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)&=4\cr \cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)&=0.4 \end{aligned} (2) Usando la sustitución $b=\frac{x}{3}+30^\circ$ simplificó aún más la ecuación a: $$\cos b=0.4$$ (3) A continuación, utilizó una calculadora para resolver esta ecuación trigonométrica básica. Después de redondear a un decimal, determinó el valor de la variable sustituida como: $$b\approx 66.4^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ where } k\in\mathbb{Z}$$ (4) Finalmente, después de volver a sustituir y resolver para $x$, halló: \begin{aligned} \frac{x}{3}+30^\circ&=66.4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x&\approx109.2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ where } k\in\mathbb{Z} \end{aligned} Sin embargo, Jana se equivocó en un paso. Identifica el paso incorrecto.
El error está en el paso (1). Jana cometió un error al simplificar la ecuación. La ecuación simplificada correcta debería haber sido: $$-4\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)=4$$
El error está en el paso (2). La sustitución debería haber sido: $$b=\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)$$ Entonces, la variable sustituida sería $b=0.4$.
El error está en el paso (3). La ecuación $\cos b=0.4$ tiene dos soluciones en el intervalo $[ 0^\circ;360^\circ ]$.
El error está en el paso (4). Al resolver para $x$, JJana determinó incorrectamente el período. El resultado correcto debería haber sido. \begin{aligned} \frac{x}{3}+30^\circ&\approx66.4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x&\approx 109.2^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ where }k\in\mathbb{Z} \end{aligned}
La ecuación $\cos b=0.4$ tiene dos soluciones en el intervalo $[ 0^\circ;360^\circ ]$. Sin embargo, ¡la calculadora sólo muestra la solución del primer cuadrante! Además de la solución del primer cuadrante: $$b_1\approx 66.4^\circ+k\cdot360^\circ$$ debemos incluir también la solución del cuarto cuadrante: $$b_2\approx\left(360^\circ-66.4^\circ\right)+k\cdot360^\circ$$ Por último, debemos volver a la sustitución y resolver la incógnita $x$:
Para la solución del primer cuadrante: \begin{aligned} b_1&\approx 66.4^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ where } k\in\mathbb{Z}\cr \frac{x_1}{3}+30^\circ&\approx 66.4^\circ+k\cdot 360^\circ\cr \frac{x_1}{3}&\approx 36.4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x_1&\approx 109.2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ \end{aligned} Para la solución del cuarto cuadrante: \begin{aligned} b_2&\approx293.6^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ where } k\in\mathbb{Z}\cr \frac{x_2}{3}+30^\circ&\approx 293.6^\circ+k\cdot360^\circ\cr \frac{x_2}{3}&\approx263.6^\circ+k\cdot360^\circ\cr x_2&\approx790.8^\circ+k\cdot 1\,080^\circ \end{aligned} El resultado correcto en la forma adecuada es: \begin{aligned} x_1&\approx 109.2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ where }k\in\mathbb{Z}\cr x_2&\approx 790.8^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ where }k\in\mathbb{Z} \end{aligned}