A los alumnos se les planteó el siguiente problema:
Un peatón y un ciclista se desplazan hacia una intersección por dos caminos forestales rectos que se cruzan perpendicularmente. En el momento $t = 0$, el peatón se encuentra en el punto $P_0$, que está a $4\,\mathrm{km}$ de la intersección $K$ (es decir., $ |P_0K| = 4$) y se mueve a una velocidad constante de $v_1 = 5\,\mathrm{km/h}$. En el mismo momento $t = 0$, el ciclista se encuentra en el punto $C_0$, que está a $6\,\mathrm{km}$ de la intersección $K$ (es decir., $|C_0K| = 6$) y se mueve a una velocidad constante de $v_2 =15\,\mathrm{km/h}$. ¿En qué momento $t$ estarán más cerca el uno del otro? Para ilustrar la situación, el profesor dibuja un diagrama en la pizarra y los alumnos presentan sus soluciones:
En el momento $t \geq 0$ el peatón se encuentra en el punto $P$ a la distancia $|PK|$ de la intersección $K$: $$ |PK| = \left||P_0K| - |P_0P|\right| = |4 - v_1t| = |4 - 5t|. $$ Del mismo modo, en el momento $t \geq 0$, el ciclista se encuentra en el punto $C$ a la distancia $|CK|$ de la intersección $K$: $$ |CK| = \left||C_0K| - |C_0C|\right| = |6 - v_2t| = |6 - 15t|. $$
Alice: La distancia entre el peatón y el ciclista en el momento $t$ se puede expresar utilizando el teorema de Pitágoras como: $$ d(t)= \sqrt{(4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2} $$ La distancia $d(t)$ se minimizará siempre que la función: $$ f(t) = d^2(t) = (4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2 $$ alcance su mínimo.
Se trata de una función cuadrática cuya ecuación puede simplificarse aún más: $$ \begin{gather} f(t) = 16 - 40t + 25t^2 + 36 - 180t + 225t^2 \cr f(t) = 250t^2 - 220t + 52 \end{gather} $$ Para encontrar el mínimo de esta función, utilizamos la fórmula de la primera coordenada $t_V$ del vértice de una parábola $f(t) = at^2+bt+c$: $$ t_V = - \frac{b}{2a} = \frac{220}{2 \cdot 250} = \frac{220}{500} = 0.44 $$
Respuesta de Alice: La distancia entre el ciclista y el peatón será la más corta después de $0.44$ horas, es decir, $26$ minutos y $24$ segundos.
Bob: La distancia más corta entre el peatón y el ciclista se produce cuando el que está más cerca de la intersección (el peatón) se encuentra justo en la intersección (la distancia más corta no se mide a lo largo de la diagonal). El peatón llega a la intersección a la vez: $$ t = \frac{|P_0K|}{v_1}= \frac45 = 0.8 $$ Respuesta de Bob: La distancia más corta entre el peatón y el ciclista se produce después de $0.8$ horas, es decir, $48$ minutos.
Cecilia: La distancia más corta entre el peatón y el ciclista se produce cuando el primero de ellos (el ciclista) llega a la intersección (la distancia no se mide a lo largo de la diagonal). El ciclista llega a la intersección en el momento: $$ t = \frac{|C_0K|}{v_2}= \frac{6}{15} = 0.4 $$ Respuesta de Cecilia: La distancia más corta entre el peatón y el ciclista se produce después de $0.4$ horas, es decir, $24$ minutos.
David: La distancia entre el peatón y el ciclista se minimiza cuando ambos llegan a la misma distancia de la intersección (el triángulo $PKC$ es, entonces, isósceles, por lo que su hipotenusa es la más corta posible). Es decir: $$ \begin{aligned} 4 - 5t &= 6 - 15t \cr 10t &= 2 \cr t &= 0.2 \end{aligned} $$ Respuesta de David: La distancia más corta entre el peatón y el ciclista se produce después de $0.2$ horas, lo que equivale a $12$ minutos. ¿Alguno de los alumnos ha resuelto el problema correctamente?
Sí, Alice.
Sí, Bob.
Sí, Cecilia.
Sí, David.
Sí, todos ellos resolvieron el problema correctamente porque, según el Teorema de la Perpendicularidad, la distancia entre objetos que se mueven perpendicularmente no cambia.
Nadie.
La distancia $d$ entre el peatón y el ciclista en el momento $t$, viene dada por la ecuación $$ d(t)= \sqrt{(4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2}. $$ Obsérvese que el mínimo de una función no negativa se produce en el mismo punto que el mínimo del cuadrado de dicha función. Por esta razón, es posible minimizar la función $d(t)$ minimizando la función: $$ f(t) = (d(t))^2 = (4 - 5t)^2 + (6 - 15t)^2 = 250t^2 - 220t + 52 $$ cuyo gráfico se muestra en la siguiente figura.
