Después de haber enseñado las ecuaciones y desigualdades logarítmicas, el profesor asignó a los alumnos un problema más difícil de resolver. Los alumnos debían resolver la siguiente desigualdad logarítmica: $$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $$ La solución completa, paso a paso, se iba anotando en la pizarra a partir de las sugerencias de los alumnos.
(1) Todos los alumnos se dieron cuenta de que los logaritmos sólo pueden aplicarse a números reales positivos. Por lo tanto, añadieron la restricción de dominio a la desigualdad: $$ \begin{aligned} x > 0 &\land 3x - 1 > 0 \cr x > 0 &\land x > \frac13 \cr x &\in \left(\frac13 ; \infty \right) \end{aligned} $$
(2) Un estudiante sugirió resolver la desigualdad como una desigualdad de tipo producto, lo que significa que la desigualdad: $$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $$ es verdadera si y sólo si ambos factores son no negativos, i.e., $\log x \geq 0$ and $\log_5(3x - 1) \geq 0$, o ambos factores son no positivos, i.e., $\log x \leq 0$ and $\log_5(3x - 1) \leq 0$.
(3) Después, los alumnos propusieron dividir el problema en dos casos distintos. El siguiente paso era resolver el primer conjunto de inecuaciones logarítmicas: $$ \begin{aligned} \log x \geq 0 &\land \log_5(3x - 1) \geq 0 \cr x \geq 10^0 &\land 3x - 1 \geq 5^0 \cr x \geq 1 &\land 3x - 1 \geq 1 \cr x \geq 1 &\land x \geq \frac23 \end{aligned} $$ Teniendo en cuenta la restricción de dominio, obtuvieron: $$x \in [ 1; \infty )$$
(4) En el siguiente paso, resolvieron el segundo conjunto de desigualdades logarítmicas: $$ \begin{aligned} \log x \leq 0 &\land \log_5(3x - 1) \leq 0 \cr x \leq 10^0 &\land 3x - 1 \leq 5^0 \cr x \leq 1 &\land 3x - 1 \leq 1 \cr x \leq 1 &\land x \leq \frac23 \end{aligned} $$ Teniendo en cuenta la restricción de dominio, obtuvieron: $$x \in \left( \frac13 ; \frac23\right]$$
(5) La solución final es la intersección de los intervalos encontrados en los pasos (3) y (4), es decir, los intervalos $[ 1; \infty )$ y $(\frac13 ; \frac23]$. Como ningún número real se encuentra en la intersección de estos intervalos, la desigualdad logarítmica dada no tiene solución.
¿Es correcta su solución? Explícalo.
No, hay un error en el paso (1). La restricción de dominio debería ser: $$ \begin{gather} x(3x - 1) > 0 \cr x \in (-\infty , 0) \cup \left(\frac13 ; \infty \right) \end{gather} $$
No, hay un error en el paso (2). Este procedimiento es incorrecto.
No, hay un error en el paso (3). Debería ser $x \in [ \frac23 ; \infty )$.
No, hay un error en el paso (4). Debería ser $x \in (\frac13 ; 1]$.
No, hay un error en el paso (5). La solución final debería ser la unión de los intervalos obtenidos en los pasos (3) y (4), no su intersección.
Sí, todos los pasos son correctos.
Los pasos (1)-(4) son correctos. Se ha producido un error en el paso (5), en el que los alumnos deberían haber realizado la unión de los intervalos de los pasos (3) y (4). Esto daría como resultado: $$ x \in \left(\frac13 ; \frac23 \right] \cup \left[ 1; \infty \right)\cdot $$