Consideremos la función $$ f(x) = 3 \cdot |x - a| + b,~\mathrm{donde~} a, b \in \mathbb{R}, $$ que cumple $f(-2) = 1$ y $f \left(- \frac13\right) = 0$. Halla la ecuación de esta función.
Este problema se planteó a dos amigas, Beata y Eva. Ambas procedieron de la misma manera en los dos primeros pasos:
(1) Si se cumple $f(-2) = 1$, obtenemos $1 = 3 \cdot |-2 - a| + b$.
(2) Si se cumple $f\left(- \frac13\right) = 0$, obtenemos $0 = 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + b$.
Luego adoptaron enfoques diferentes:
Beata:
(3) A partir de ambas ecuaciones, expresó $b$: $$ \begin{aligned} b &= -3 \cdot |-2 - a| + 1 \cr b &= -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 \end{aligned} $$ A continuación, igualó esas expresiones, obteniendo la ecuación: $$ -3 \cdot |-2 - a| + 1 = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 $$
(4) A continuación, Beata resolvió la ecuación obtenida elevando al cuadrado ambos lados y simplificando: $$ \begin{gather} 1 - 6 \cdot (2 + a) + 9 \cdot (4 + 4a + a^2) = 9 \left(a^2 + \frac23 a + \frac19 \right) \cr 1 - 12 - 6a + 36 + 36a + 9a^2 = 9a^2 + 6a + 1 \cr 24a = -24 \cr a = -1 \end{gather} $$
(5) Por último, sustituyó $a = -1$ en la ecuación $b = -3 \cdot |-2 - a| + 1$ y obtuvo: $$ \begin{aligned} b &= -3 \cdot |-2 - (-1)| + 1 = -3 \cdot |-2 + 1| + 1 =\cr &= -3 \cdot |-1| + 1 = -3 \cdot 1 + 1 = -3 + 1 = -2 \end{aligned} $$ Así, concluyó que la ecuación de la función era: $$ f(x) = 3 \cdot |x + 1| - 2 $$
Eva:
(3) Expresó $b$ a partir de la ecuación $0 = 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + b$ como: $$ b = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| $$ A continuación, sustituyó $b$ en la ecuación $1 = 3 \cdot |-2 - a| + b$: $$ 1 = 3 \cdot |-2 - a| - 3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| $$ y la modificó dándole la forma: $$ -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| = -3 \cdot |-2 - a| + 1 $$
(4) Elevó la ecuación al cuadrado para eliminar los valores absolutos y la simplificó aún más: $$ \begin{gather} 9 \cdot \left(a^2 + \frac19 \right) = 9 \cdot (4 + 4a + a^2) + 1 \cr 9a^2 + 1 = 36 + 36a + 9a^2 + 1 \cr -36a = 36 \cr a = -1 \end{gather} $$
(5) Por último, sustituyó $a = -1$ por $b = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right|$ y obtuvo el mismo resultado que Beata.
Ambas amigas han obtenido el mismo resultado. ¿Han resuelto el problema correctamente?
No. Cada una cometió un error en su procedimiento.
No. Beata cometió un error en su procedimiento, pero Eva lo resolvió correctamente.
No, no lo hicieron. Eva cometió un error en su procedimiento, pero Beata trabajó correctamente.
Sí, tanto sus procedimientos como sus resultados son correctos.
Eva Eva se equivocó repetidamente al elevar al cuadrado. En lugar de corregir $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, elevó al cuadrado erróneamente como $(a + b)^2 = a^2 + b^2$.
Beata cometió un error en el paso (4). Después de elevar la ecuación al cuadrado correctamente: $$ -3 \cdot |-2 - a| + 1 = -3 \cdot \left|- \frac13 - a\right| + 0 $$ debería quedar un valor absoluto. Es este: $$ \begin{gather} 1 - 6 \cdot |2 + a| + 9 \cdot (4 + 4a + a^2) = 9 \left(a^2 + \frac23 a + \frac19\right) \cr 1 - 6 \cdot |2 + a| + 36 + 36a + 9a^2 = 9a^2 + 6a + 1 \end{gather} $$ A continuación, separamos el valor absoluto: $$ \begin{gather} -6 \cdot |2 + a| = 9a^2 + 6a + 1 - 1 - 36 - 36a - 9a^2 \cr -6 \cdot |2 + a| = -30a - 36 \end{gather} $$ y dividiendo por $-6$ obtenemos: $$ |2 + a| = 5a + 6 $$ Volvemos a elevar la ecuación al cuadrado: $$ \begin{gather} 4 + 4a + a^2 = 25a^2 + 60a + 36 \cr 24a^2 + 56a + 32 = 0 \cr 3a^2 + 7a + 4 = 0 \end{gather} $$ Entonces encontramos las raíces de la ecuación cuadrática anterior: $$ \begin{gather} a_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6} = \frac{-7 \pm 1}{6} \cr a_1 = \frac{-7 + 1}{6} = -1 \cr a_2 = \frac{-7 - 1}{6} = - \frac43 \end{gather} $$ La comprobación es necesaria porque hemos utilizado transformaciones no equivalentes. No es difícil comprobar que $a_1 = -1$ es una solución mientras que $a_2 = - \frac43$ no lo es.
Para $a = -1$ obtenemos $b = -2$. Así que realmente, nuestra función $f$ viene dada por la ecuación: $$ f(x) = 3 \cdot |x + 1| - 2 $$ Ambas llegaron al resultado correcto por casualidad, pero su procedimiento era incorrecto.