Los alumnos debían encontrar los extremos locales de la función: $$f(t)=3t^4−4t^3,$$ donde $t \in\mathbb{R}$.
Todos hallaron correctamente la primera derivada: $$ f'(t)=12t^3−12t^2, $$ y la igualaron a cero para encontrar los puntos críticos, obteniendo la ecuación: $$ 12t^3−12t^2=0. $$ A partir de este punto, cada alumno procedió de forma ligeramente diferente.
Adam reescribió la ecuación como: $$ 12t^3=12t^2. $$ Dividiendo ambos lados por $t^2$, obtuvo la ecuación $12t =12$, que tiene una única solución $t =1$. Concluyó entonces que el único extremo de la función $f $ se encuentra en este punto.
Bob factorizó la ecuación $12t^3−12t^2=0$ como: $$ 12t^2(t −1)=0 $$ e identificó dos soluciones: $t_1=1$ y $t_2=0$. Bob concluyó entonces que la función $f$ tiene extremos locales en estos dos puntos.
David procedió de forma similar a Bob, factorizando la ecuación y obteniendo dos soluciones, $t_1=1$ y $t_2=0$. Para comprobar si estos puntos son efectivamente extremos, calculó la segunda derivada: $$ f''(t)=36t^2−24t $$ Sustituyó los puntos críticos $t_1=1$ and $t_2=0$ en la segunda derivada: $$ f''(1)=36\cdot 1^2−24 \cdot 1=12>0 $$ lo que significa que existe un mínimo local en el punto $1$ y $$ f''(0)=36 \cdot 02−24 \cdot 0=0 $$
lo que significa que no existe un extremo local en el punto $0$.
Ema también encontró los dos puntos críticos $t_1=1$ and $t_2=0$ mediante factorización. Razonó de la siguiente manera:
Alrededor de $t_1=1$ el signo de la primera derivada cambia indicando que $f $ tiene un extremo local en el punto $1$. Más concretamente, en el intervalo $(0,1)$, la primera derivada de $f$ es negativa, y en el intervalo $(1,+\infty)$, es positiva. Como $f$ es continua en el punto $1$, se cumple que $f$ es decreciente en el intervalo $[ 0,1 ]$ y creciente en el intervalo $[ 1,+\infty)$. Esto significa que hay un mínimo local en el punto $1$.
Por otro lado, alrededor de $t_2=0$ el signo de la primera derivada no cambia, por lo que $f$ no tiene un extremo local en el punto $0$.
¿Qué estudiantes no cometieron ningún error?
Sólo Ema.
Adam, David y Ema.
David y Ema.
Sólo Bob.
Adam perdió uno de los puntos críticos al dividir la ecuación de la primera derivada de la función $f$.
Bob asumió incorrectamente que un extremo local se produce automáticamente en cada punto crítico de la primera derivada de la función $f$.
David debería haberse dado cuenta de que si tanto la primera como la segunda derivada son cero en un punto determinado, no es posible determinar la presencia de un extremo local basándose únicamente en estas derivadas.
