El test de biología tiene diez preguntas. Cada una tiene cuatro respuestas posibles, pero solo una es correcta. Jenda no estaba estudiando y pensó que sería buena idea responder el test aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que no suspenda el test, teniendo en cuenta que necesita responder al menos $3$ preguntas correctamente para aprobar?
En lugar de estudiar biología, Jenda calculó la probabilidad correspondiente:
(1) Primero, calculó la probabilidad de equivocarse en todas las respuestas. "¡Esto no debería pasarme!" Calculó la probabilidad usando la distribución binomial: $$P_0={10\choose10}\cdot0.75^{10}\cdot0.25^0=0.0563$$
(2) Luego, calculó la probabilidad de tener $9$ respuestas mal y $1$ bien: $$P_1={10\choose9}\cdot0.75^9\cdot0.25^1=0.1877$$
(3) Después calculó la probabilidad de tener $8$ respuestas mal y $2$ bien: $$P_2={10\choose8}\cdot0.75^8\cdot0.25^2=0.2816$$
(4) También calculó la probabilidad de tener $7$ respuestasmal y $3$ bien: $$P_3={10\choose7}\cdot0.75^7\cdot0.25^3=0.2503$$
(5) La probabilidad de que Jenda no apruebe el test es:: $$P=P_0+P_1+P_2+P_3=0.7759$$ (6) Por tanto, la probabilidad de que Jenda apruebe el test, i.e., responda al menos a $3$ preguntas correctamente, es: $$1-0.7759=0.2241$$
Esta probabilidad le pareció demasiado baja, por lo que decidió volver a estudiar biología.
Finalmente Jenda suspendió el test de biología. ¿Consiguió al menos resolver correctamente este problema de probabilidad?
Jenda resolvió el problema correctamente; quizá sea más matemático que biólogo.
Jenda cometió un error en el paso (1). Se cumple que $0.25^0=0$. Por lo tanto $P_0=0$.
Jenda cometió un error en el paso (5). La probabilidad de que no apruebe el test es la suma de $P_0+P_1+P_2=0.5256$. La probabilidad de que apruebe es $1-0.5256=0.4744$.
Jenda cometió un error en el paso (6). La probabilidad de que apruebe el test es la calculada en el paso (5), es decir $0.7759$.