Se le encargó a Adam la tarea de encontrar la derivada de la función $$ f(x)=\mathrm{e}^{x^2} $$ en el punto $x=0$. Procedió de la siguiente forma:
Primero, observó que se trataba de una función compuesta, donde la primera función aplicada es la función exponencial $y=e^x$ y la segunda es la función cuadrática $y=x^2$.
Derivó la función $f$ usando la regla de la cadena para derivar funciones compuestas: $$ f'(x)=2\cdot (\mathrm{e}^x )^1\cdot (\mathrm{e}^x )'=2\cdot \mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^x=2\cdot (\mathrm{e}^x )^2 $$ Fijando $x=0$ calculó el valor de la derivada en dicho punto: $$ f'(0)=2\cdot (\mathrm{e}^0 )^2=2\cdot 1^2=2 $$ ¿Es correcto el procedimiento de Adam? Justifica tu respuesta.
No. Las dos funciones de la composición no están correctamente identificadas.
Sí. El procedimiento es correcto.
No. La igualdad $2\cdot (\mathrm{e}^x )^1\cdot (\mathrm{e}^x )'=2\cdot \mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^x$ no es cierta.
No. La derivada de la función $f$ es $f'(x)=\mathrm{e}^{x^2 }$, y se cumple $f'(0)=\mathrm{e}^0=1$.
El error está en el comienzo del procedimiento, ya que Adam no entendió el convenio de notación de los exponentes. En lugar de $\mathrm{e}^{x^2}$, que significa $\mathrm{e}^{(x^2 )}$, usó $(\mathrm{e}^x )^2$, que es igual a $\mathrm{e}^{2x}$.
A continuación se muestra el procedimiento correcto: La primera función aplicada es la función cuadrática $y=x^2$, y la segunda es la función exponencial $y=\mathrm{e}^x$. Para la derivada de la función $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}$, se cumple: $$ f'(x)=\mathrm{e}^{x^2 }\cdot (x^2)'=\mathrm{e}^{x^2 }\cdot 2x=2x\cdot \mathrm{e}^{x^2 } $$ Fijando $x=0$ podemos calcular el valor de la derivada en dicho punto: $$ f'(0)=2\cdot 0\cdot \mathrm{e}^{0^2}=0 $$ La representación gráfica de la función $f$ muestra que la derivada en el punto $x=0$ es, efectivamente, cero (la tangente es paralela al eje $x$).
