Dados dos puntos $A = [-2, 3]$ y $B = [3; -1]$, halla la ecuación de la recta $p =AB\ $ en su forma general.
La solución de José:
(1) La forma general de la ecuación de una recta es $ax + by + c = 0$.
(2) Como los puntos $A$ y $B$ están sobre la recta $p$, el vector director de la recta $p$ es $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}= B\ -\ A = (5; -4)$.
(3) El vector director es $\ \overrightarrow{u}=(a;b)$, por lo tanto, la ecuación de $p$ es $5x\ -\ 4y + c = 0$.
(4) El punto $A$ está sobre la recta $p$, por lo que $5\cdot(-2)\ -\ 4 \cdot 3 + c = 0 \cdot c = 22$.
(5) La ecuación de la recta $p$ en forma general es $5x\ -\ 4y + 22 = 0$.
¿Es incorrecta la solución de José? En caso afirmativo, ¿en qué se equivocó José en su procedimiento?
La solución de José es correcta.
El error está en el paso (2). El vector director de la recta $p$ es $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=B\ -\ A=(1; -4)$.
El error está en el paso (3). El vector director $\ \overrightarrow{u}\neq (a;b)$.
El error está en el paso (4). $A\in p$ y así $5\cdot(-2)\ –\ 4\cdot3+c=0\Rightarrow c = -22$.
(1) La forma general de la ecuación de una recta es $ax + by + c = 0$.
(2) Como los puntos $A$ y $B$ están sobre la recta $p$, el vector director de la recta $p$ es $\ \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=B\ -\ A=(5; -4)$.
(3) Los coeficientes $a$ y $b$ en la ecuación general de la recta son las componentes del vector normal (no del vector director). Se sabe que $$ \overrightarrow{n}\ \bot\ \overrightarrow{u}$$ por lo que $\overrightarrow{n}=(4;5)$. Entonces la ecuación de $p$ es $4x + 5y + c = 0$.
(4) El punto $A$ está sobre la recta $p$, así $4\cdot(-2) + 5 \cdot 3 + c = 0 \Rightarrow c = -7$.
(5) La ecuación de la recta $p$ en forma general es $4x + 5y\ -\ 7 = 0$.