$ 3x^4+bx^2+3=0 $

Michal debía determinar para qué valores del parámetro $b\in \mathbb{R}$ la ecuación $$ 3x^4+bx^2+3=0 $$ tendría cuatro raíces reales diferentes. Procedió de la siguiente manera:

(1) Redujo la ecuación a una ecuación cuadrática mediante el cambio de variable $t=x^2$: $$ 3t^2+bt+3=0. $$

(2) Expresó las raíces de la ecuación cuadrática: $$ t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot 3\cdot 3}}{6} $$

(3) Luego deshizo el cambio de variable: $$ x^2=t_1\mathrm{~y~} x^2=t_2. $$

(4) Para tener cuatro raíces reales distintas de la ecuación, dedujo que tanto $t_1$ como $t_2$ debían ser positivas y distintas, es decir, $$ t_1>0\mathrm{~y~} t_2>0 \mathrm{~y~} t_1\neq t_2 $$ (5) Con el fin de que las raíces existan y sean diferentes entre sí, el discriminante $\Delta=b^2-36$ debía ser positivo, es decir,
$$ \begin{gather} b^2>36 \cr |b|>6 \cr b\in (-\infty;-6)\cup (6;+\infty) \end{gather} $$

(6) Garantizar que $t_1>0$ y $t_2>0$ seguía siendo un reto. Como Michal no sabía resolver este problema, pidió ayuda a sus compañeros.

Adam consideró que de $t_1>0$ y $t_2>0$ se deducía que $t_1t_2>0$, es decir. $$ \begin{gather} (-b+\sqrt{b^2-36})(-b-\sqrt{b^2-36})>0 \cr b^2-(b^2-36)>0 \cr 36>0. \end{gather} $$ La última inecuación se cumple para todos los valores $b\in \mathbb{R}$. Por lo tanto, teniendo en cuenta el resultado del paso (5), la ecuación dada tendrá cuatro raíces reales diferentes para $$ b\in (-\infty;-6) \cup (6;\infty) $$

Paula recordó que según las fórmulas de Vieta, las raíces $t_1$, $t_2$ de la ecuación cuadrática $at^2+bt+c=0$ cumplen $$ t_1+t_2=-\frac{b}{a},~t_1t_2=\frac{c}{a}. $$ En nuestro caso $t_1+t_2=-\frac{b}{3}$, $t_1t_2=1$. Como $t_1>0$ y $t_2>0$, se debe cumplir $b<0$.

Junto con el resultado del paso (5), se deduce que la ecuación dada tendrá cuatro raíces reales diferentes si y solo si $$ b\in (-\infty;-6) $$

Edward procedió de otra manera. Factorizando $3t^2+bt+3$ obtuvo: $$ \begin{gather} 3t^2+bt+3=3(t-t_1)(t-t_2) \cr t^2+\frac{b}{3}t+1=(t-t_1)(t-t_2) \cr t^2+\frac{b}{3}t+1=t^2-(t_1+t_2)t+t_1t_2 \end{gather} $$ de lo que se deduce $$ t_1+t_2=-\frac{b}{3}\mathrm{~y~} t_1t_2=1. $$ Como $t_1>0$ y $t_2>0$, se debe cumplir $b<0$.

Si consideramos el resultado del paso (5), Concluimos que la ecuación dada tendrá cuatro raíces reales diferentes si y solo si $$ b\in (-\infty;-6) $$ ¿Cuál de los compañeros razonó correctamente?