$ 3x^4+bx^2+3=0 $

Michal měl určit, pro které hodnoty parametru $b\in \mathbb{R}$ bude mít rovnice $$ 3x^4+bx^2+3=0 $$ čtyři různé reálné kořeny. Postupoval takto:

(1) Substitucí $t=x^2$ zadanou rovnici upravil na rovnici kvadratickou: $$ 3t^2+bt+3=0. $$

(2) Vyjádřil kořeny kvadratické rovnice: $$ t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot 3\cdot 3}}{6} $$

(3) Pak se vrátil zpět k substituci a dosadil $$ x^2=t_1\mathrm{~a~} x^2=t_2. $$

(4) Usoudil, že rovnice bude mít čtyři různá reálná řešení, pokud jak $t_1$, tak i $t_2$ budou kladná a různá, tj. $$ t_1>0\mathrm{~a~} t_2>0 \mathrm{~a~} t_1\neq t_2 $$

(5) Aby kořeny existovaly a byly navzájem různé, musí být diskriminant $\Delta=b^2-36$ kladný, tedy $$ \begin{gather} b^2>36 \cr |b|>6 \cr b\in (-\infty;-6)\cup (6;+\infty) \end{gather} $$

(6) Jak zajistit, aby $t_1>0$ a $t_2>0$, to ale Michal nevěděl. Požádal tedy o pomoc své spolužáky.

Adam si myslí, že z toho, že $t_1>0$ a $t_2>0$, vyplývá, že $t_1t_2>0$, tj. $$ \begin{gather} (-b+\sqrt{b^2-36})(-b-\sqrt{b^2-36})>0 \cr b^2-(b^2-36)>0 \cr 36>0. \end{gather} $$ Poslední nerovnost platí pro všechny hodnoty $b\in \mathbb{R}$. Proto při zohlednění výsledku z kroku (5) bude mít daná rovnice čtyři různá reálná řešení pro $$ b\in (-\infty;-6) \cup (6;\infty) $$

Pavla si vzpomněla, že podle Vietových vzorců kořeny $t_1$, $t_2$ kvadratické rovnice $at^2+bt+c=0$ splňují podmínky $$ t_1+t_2=-\frac{b}{a},~t_1t_2=\frac{c}{a}. $$ V našem případě $t_1+t_2=-\frac{b}{3}$, $t_1t_2=1$. Jelikož $t_1>0$ a $t_2>0$, musí platit $b<0$.

S použitím výsledku z kroku (5) z toho vyplývá, že daná rovnice bude mít čtyři různé reálné kořeny právě tehdy, když $$b\in (-\infty;-6)$$

Eduard postupoval takto: Rozložil na součin výraz $3t^2+bt+3$ a získal: $$ \begin{gather} 3t^2+bt+3=3(t-t_1)(t-t_2) \cr t^2+\frac{b}{3}t+1=(t-t_1)(t-t_2) \cr t^2+\frac{b}{3}t+1=t^2-(t_1+t_2)t+t_1t_2 \end{gather} $$ z toho vyplývá, že $$ t_1+t_2=-\frac{b}{3}\mathrm{~a~} t_1t_2=1. $$ Jelikož $t_1>0$ a $t_2>0$, musí platit $b<0$.

Pokud zvažujeme výsledek z kroku (5), dospějeme k závěru, že daná rovnice bude mít čtyři různé reálné kořeny právě tehdy, když $$ b\in (-\infty;-6) $$ Který ze spolužáků uvažoval správně?