$ 3x^4+bx^2+3=0 $

Michal mal určiť, pre ktoré hodnoty parametra $b\in \mathbb{R}$ bude mať rovnica $$ 3x^4+bx^2+3=0$$ štyri rôzne reálne korene. Postupoval nasledovne:

(1) Rovnicu upravil na kvadratickú rovnicu pomocou substitúcie $t=x^2$: $$ 3t^2+bt+3=0. $$

(2) Vyjadril korene kvadratickej rovnice: $$ t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot 3\cdot 3}}{6}. $$

(3) Potom sa vrátil k substitúcii a dosadil $$ x^2=t_1\mathrm{~a~} x^2=t_2. $$

(4) Aby mala rovnica štyri rôzne reálne korene, odvodil, že $t_1$ aj $t_2$ musia byť kladné a rôzne, t. j, $$ t_1>0\mathrm{~a~} t_2>0 \mathrm{~a~} t_1\neq t_2. $$ (5) Aby korene existovali a boli navzájom odlišné, potom diskriminant $$ \begin{gather} b^2>36 \cr |b|>6 \cr b\in (-\infty;-6)\cup (6;+\infty). \end{gather} $$ (6) Zabezpečenie toho, aby $t_1>0$ a $t_2>0$ zostalo záhadou. Keďže Michal nevedel, ako tento problém vyriešiť, požiadal o pomoc svojich spolužiakov.

Adam si myslí, že z $t_1>0$ a $t_2>0$ vyplýva $t_1t_2>0$, t. j. $$ \begin{gather} (-b+\sqrt{b^2-36})(-b-\sqrt{b^2-36})>0 \cr b^2-(b^2-36)>0 \cr 36>0. \end{gather} $$ Posledná nerovnosť platí pre všetky hodnoty $b\in \mathbb{R}$. Preto pri zohľadnení výsledku z kroku (5) bude mať daná rovnica štyri rôzne reálne korene pre $$ b\in (-\infty;-6) \cup (6;\infty). $$

Paula si spomenula, že podľa Vietových vzťahov korene $t_1$, $t_2$ kvadratickej rovnice $at^2+bt+c=0$ spĺňajú podmienky $$ t_1+t_2=-\frac{b}{a},~t_1t_2=\frac{c}{a}. $$ V našom prípade $t_1+t_2=-\frac{b}{3}$, $t_1t_2=1$. Keďže $t_1>0$ a $t_2>0$, musí platiť $b<0$.

Spolu s výsledkom z kroku (5) z toho vyplýva, že daná rovnica bude mať štyri rôzne reálne korene vtedy a len vtedy, ak $$ b\in (-\infty;-6). $$

Edward postupoval týmto spôsobom: Rozložil výraz $3t^2+bt+3$ na súčin a dostal: $$ \begin{gather} 3t^2+bt+3=3(t-t_1)(t-t_2) \cr t^2+\frac{b}{3}t+1=(t-t_1)(t-t_2) \cr t^2+\frac{b}{3}t+1=t^2-(t_1+t_2)t+t_1t_2 \end{gather}$$ z čoho vyplýva, že $$ t_1+t_2=-\frac{b}{3}\mathrm{~a~} t_1t_2=1. $$ Keďže $t_1>0$ a $t_2>0$, musí platiť $b<0$.

Ak uvažujeme výsledok z kroku (5), dospejeme k záveru, že daná rovnica bude mať štyri rôzne reálne korene vtedy a len vtedy, ak $$ b\in (-\infty;-6). $$ Ktorý zo spolužiakov uvažoval správne?