$ 3x^4+bx^2+3=0 $

Michał musiał określić, dla jakich wartości parametru $b\in \mathbb{R}$ równanie $$ 3x^4+bx^2+3=0 $$ będzie miało cztery różne pierwiastki rzeczywiste. Postępował w następujący sposób:

(1) Zredukował równanie do równania kwadratowego za pomocą podstawienia $t=x^2$: $$ 3t^2+bt+3=0. $$

(2) Wyznaczył pierwiastki równania kwadratowego: $$ t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot 3\cdot 3}}{6} $$

(3) Następnie powrócił do podstawienia i podstawił $$ x^2=t_1\mathrm{~i~} x^2=t_2. $$

(4) Aby mieć cztery różne rzeczywiste pierwiastki równania, wywnioskował, że zarówno $t_1$, jak i $t_2$ muszą być dodatnie i różne, tj, $$ t_1>0\mathrm{~i~} t_2>0 \mathrm{~i~} t_1\neq t_2 $$ (5) Aby pierwiastki istniały i różniły się od siebie, wyróżnik $\Delta=b^2-36$ musi być dodatni, tj. $$ \begin{gather} b^2>36 \cr |b|>6 \cr b\in (-\infty;-6)\cup (6;+\infty) \end{gather} $$

(6) Zapewnienie, że $t_1>0$ i $t_2>0$ pozostało wyzwaniem. Ponieważ Michał nie wiedział jak rozwiązać ten problem, poprosił swoich kolegów o pomoc.

Adam uważa, że z $t_1>0$ i $t_2>0$ wynika $t_1t_2>0$, tzn. $$ \begin{gather} (-b+\sqrt{b^2-36})(-b-\sqrt{b^2-36})>0 \cr b^2-(b^2-36)>0 \cr 36>0. \end{gather} $$ Ostatnia nierówność zachodzi dla wszystkich wartości $b\in \mathbb{R}$. W związku z tym, biorąc pod uwagę wynik z kroku (5), dane równanie będzie miało cztery różne pierwiastki rzeczywiste dla $$ b\in (-\infty;-6) \cup (6;\infty) $$

Paula przypomniała sobie, że zgodnie ze wzorami Vieta pierwiastki $t_1$, $t_2$ równania kwadratowego $at^2+bt+c=0$ spełniają następujące warunki $$ t_1+t_2=-\frac{b}{a},~t_1t_2=\frac{c}{a}. $$ W naszym przypadku $t_1+t_2=-\frac{b}{3}$, $t_1t_2=1$. Ponieważ $t_1>0$ i $t_2>0$, musi zachodzić $b<0$.

Wraz z wynikiem z kroku (5) wynika, że dane równanie będzie miało cztery różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy $$ b\in (-\infty;-6) $$

Edward postępował w ten sposób: Faktoryzując $3t^2+bt+3$ otrzymał: $$ \begin{gather} 3t^2+bt+3=3(t-t_1)(t-t_2) \cr t^2+\frac{b}{3}t+1=(t-t_1)(t-t_2) \cr t^2+\frac{b}{3}t+1=t^2-(t_1+t_2)t+t_1t_2 \end{gather} $$ z którego wynika, że $$ t_1+t_2=-\frac{b}{3}\mathrm{~i~} t_1t_2=1. $$ Ponieważ $t_1>0$ i $t_2>0$, musi zachodzić $b<0$.

Jeśli weźmiemy pod uwagę wynik z kroku (5), dojdziemy do wniosku, że dane równanie będzie miało cztery różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy $$ b\in (-\infty;-6) $$ Który z kolegów pomyślał poprawnie?