¿Cuál es la probabilidad de sacar seis unos en seis tiradas de un dado?
La solución de Carlos:
(1) Los sucesos de un uno en tiradas individuales son sucesos independientes.
(2) La probabilidad de sacar un uno en la primera tirada $(P_1)$ es $\frac16$, la probabilidad de sacar un uno en la segunda tirada $(P_2)$ es $\frac16$, y así sucesivamente, la probabilidad de sacar un uno en la sexta tirada $(P_6)$ también es $\frac16$.
(3) La probabilidad de sacar seis unos en seis tiradas $(P)$ se calcula como $P_1+P_2+\ldots+P_6=1$. Se trata de un suceso seguro.
Juan, Erica, Pedro, Anna y Barbara están comentando su solución. ¿Cuál de ellos ha dicho la verdad sobre la solución de Carlos?
Juan: El error está en el paso (3). Sacar seis unos en seis tiradas es la intersección de los sucesos "sacar uno en la primera tirada", "sacar uno en la segunda tirada", etc. La probabilidad de la intersección de eventos independientes es el producto de sus probabilidades, por lo que $P=\frac{1}{6^6}\cong0.0000214$.
Erica: El error está en el paso (3). Los sucesos son independientes, por lo que la probabilidad buscada no depende del número de tiradas, es decir, $P=\frac16$.
Pedro: El error está en el paso (1). Los sucesos de un uno en tiradas individuales no son sucesos independientes, ya que la probabilidad de sacar un uno aumenta con cada tirada subsiguiente. La forma correcta de calcular la probabilidad de sacar seis unos en seis tiradas es $P=\frac16\cdot\frac15\cdot\frac14\cdot\frac13\cdot\frac12\cdot1\cong0.00139$.
Barbara: El error está en el paso (3). Sacar seis unos en seis tiradas es la intersección de los sucesos "sacar un uno en la primera tirada", "sacar un uno en la segunda tirada", etc. La probabilidad de la intersección de sucesos independientes es el producto de sus probabilidades. Sin embargo, el resultado de las seis tiradas no se ve afectado por el orden en que se producen los resultados individuales. Por lo tanto, debemos multiplicar la probabilidad por el número de permutaciones de los resultados individuales. Así, la probabilidad es $P=6!\cdot\frac{1}{6^6}\cong0.0154$.
Anna: La solución de Carlos es correcta.