En una clase hay $30$ alumnos, con igual número de chicos y chicas, que votan los miembros de su consejo de clase. Votan cuatro representantes de su clase: un presidente, un vicepresidente, un tesorero y un florista. Cada alumno sólo puede ocupar un puesto, y los estudiantes han acordado que el consejo esté formado por el mismo número de chicas y de chicos. Tom ha calculado cuántas variaciones de la composición del consejo son posibles.
La solución de Tom:
(1) En la clase hay $15$ chicas y $15$ chicos, y de entre ellos hay que elegir a $4$ miembros del consejo. Por lo tanto, el consejo estará formado por $2$ chicas y $2$ chicos.
(2) El número de selecciones posibles de $2$ chicas dentro de $15$ puede determinarse como el número de pares ordenados de elementos de $15$, que es $15\cdot 14 = 210$. Análogamente, podemos determinar el número de posibles selecciones de $2$ chicos dentro de $15$, que también es $15\cdot 14=210$.
(3) Por lo tanto, hay $210$ maneras de seleccionar un par de chicas, y $210$ maneras de seleccionar un par de chicos. En total, obtenemos $210\cdot 210$ = $44.100$ conjuntos diferentes de $4$ miembros del consejo.
(4) Ahora tenemos que considerar que para cada conjunto de $4$ miembros del consejo, hay $4!$ maneras de asignarlos a los diferentes puestos del consejo. El número total de posibles variaciones para formar el consejo de clase es de $44.100\cdot 4!=1\,058\,400$.
La solución de Tom es incorrecta. Determina cómo debería ser la solución correcta e indica dónde se ha cometido el error.
El error está en el paso (2). Con el método elegido de seleccionar un par de chicas y un par de chicos, su orden no importa. Tom debería haber calculado su número como el número de pares no ordenados de $15$ elementos ($2$-combinaciones de un conjunto de $15$ elementos), es decir, ${15 \choose 2}=105$. El número de conjuntos posibles de cuatro miembros es entonces $105\cdot 105=11\,025$. El número final de posibilidades del consejo de clase (de acuerdo con el paso 4) es $11\,025\cdot 4!=264\cdot 600$.
El error está en el paso (4). Para cada conjunto de cuatro miembros del consejo, hay $2!\cdot 2!$ ("número de permutaciones de chicas" ∙ "número de permutaciones de chicos") formas de asignarles papeles. El número total de variantes del consejo de clase es $44\cdot 2!\cdot 2!=167\cdot 400.$
El error está en el paso (3). Hay $210$ maneras de seleccionar un par de chicas y $210$ maneras de seleccionar un par de chicos. Por lo tanto, tenemos un total de $210+201=420$ conjuntos diferentes de cuatro miembros del consejo. El número final de variantes del consejo de clase (según el paso 4) es entonces de $420$ =10.800$.
El error está en el paso (2). Tom debería haber calculado el número de pares de chicas y chicos como el número de pares ordenados con repetición a partir de $15$ elementos ($2$-permutaciones con repetición a partir de un conjunto de $15$ elementos), es decir, $15^2=225$. El número de conjuntos posibles de cuatro miembros es entonces $225\cdot 225=50\,625$. El número final de variantes del consejo de clase (según el paso 4) es entonces $50\cdot 4!=1\,215\,000$.