Pablo solucionó la inecuación $$ 4x^2+4\sqrt{2}x+3\leq 4x+2\sqrt{2} $$ así:
(1) Desplazó todos los términos al lado izquierdo de la inecuación: $$ 4x^2+4\sqrt{2}x−4x+3−2\sqrt{2}\leq 0. $$
(2) Combinó términos: $$ 4x^2+4(\sqrt{2}−1)x+3−2\sqrt{2}\leq 0. $$
(3) Calculó el discriminante del trinomio cuadrático: $$\begin{aligned} D &=4(\sqrt{2}−1)^2−4(3−2\sqrt{2})\cr D &=4(2−2\sqrt{2}+1)-12+8\sqrt{2}\cr D &=8-8\sqrt{2}+4-12+8\sqrt{2}\cr D &=0 \end{aligned}$$
(4) Pablo descubrió que el discriminante es cero, por lo que el polinomio cuadrático del lado izquierdo de la inecuación sólo tiene una raíz (una raíz doble). Sabía que en este caso la raíz del polinomio cuadrático $ax^2+bx+c$ viene dada por la fórmula $x=−b/2a$, es decir $$ x=−\frac{4(\sqrt{2}−1)}{8}=\frac{1−\sqrt{2}}{2}. $$
(5) Además, Pablo se dio cuenta de que un trinomio cuadrático cuyo discriminante es igual a cero es un cuadrado perfecto y simplificó la inecuación a la forma $$ 4\left(x−\frac{1−\sqrt{2}}{2}\right)^2 \leq 0. $$
(6) A partir de la inecuación anterior, concluyó que la inecuación se satisface sólo cuando $$ x=\frac{1−\sqrt{2}}{2}. $$
El profesor les pide a los compañeros de Pablo que comenten su solución. ¿Cuál es la correcta?
Jane: El resultado es correcto, pero Pablo sustituyó incorrectamente los coeficientes en la fórmula para el discriminante $D$. Obtuvo el valor correcto del discriminante $D$ por casualidad. El error está en el paso (3).
Rick: Toda la solución es correcta. Todos los pasos de Pablo son correctos.
Bob: El error está en el paso (4). Debería haber sido $x=b/2a$, es decir, $x=\frac{\sqrt{2}−1}2$.
Mary: El error está en el paso (5). La inecuación no se puede simplificar en la forma $$ 4\left(x−\frac{1−\sqrt{2}}{2}\right)^2\leq 0. $$
Tom: El error está en el paso (6). La inecuación no tiene solución.
El discriminante de un trinomio cuadrático $ax^2+bx+c=0$ viene dado por la fórmula $$ D=b^2-4ac. $$ En nuestro caso $a=4$, $b=4(\sqrt{2}−1)$ y $c=3−2\sqrt{2}$, es decir,
$$\begin{aligned} D =(4(\sqrt{2}−1))^2&−4\cdot 4(3−2\sqrt{2})=16(2−2\sqrt{2}+1)−16(3-2\sqrt{2})= \cr&=16(3-2\sqrt{2})−16(3-2\sqrt{2})=0. \end{aligned}$$