Pavol vyriešil nerovnicu $$ 4x^2+4\sqrt{2}x+3\leq 4x+2\sqrt{2} $$ takto:
(1) Všetky členy presunul na ľavú stranu nerovnice: $$ 4x^2+4\sqrt{2}x−4x+3−2\sqrt{2}\leq 0. $$
(2) Spojil prislúchajúce členy: $$ 4x^2+4(\sqrt{2}−1)x+3−2\sqrt{2}\leq 0. $$
(3) Vypočítal diskriminant kvadratického trojčlena: $$\begin{aligned} D &=4(\sqrt{2}−1)^2−4(3−2\sqrt{2})\cr D &=4(2−2\sqrt{2}+1)-12+8\sqrt{2}\cr D &=8-8\sqrt{2}+4-12+8\sqrt{2}\cr D &=0 \end{aligned}$$
(4) Pavol zistil, že diskriminant je rovný nule, takže kvadratický polynóm na ľavej strane nerovnice má len jeden koreň (dvojnásobný koreň). Vedel, že v tomto prípade je koreň kvadratického polynómu $ax^2+bx+c$ daný vzorcom $x=-b/2a$, t. j. $$ x=−\frac{4(\sqrt{2}−1)}{8}=\frac{1−\sqrt{2}}{2}. $$
(5) Okrem toho si Pavol uvedomil, že kvadratický trojčlen, ktorého diskriminant je rovný nule, je dokonalý štvorec a zjednodušil nerovnosť na tvar $$ 4\left(x-\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)^2 \leq 0. $$
(6) Z uvedeného usúdil, že nerovnosť je splnená len vtedy, keď $$ x=\frac{1−\sqrt{2}}{2}. $$
Učiteľ požiadal Pavlových spolužiakov, aby sa k jeho riešeniu vyjadrili. Tu je niekoľko komentárov. Ktorý z nich je správny?
Jana: Výsledok je správny, ale Pavol nesprávne dosadil koeficienty do vzorca pre diskriminant $D$. Správnu hodnotu diskriminantu $D$ získal len náhodou. Chyba je v kroku (3).
Richard: Celé riešenie je správne. Všetky Pavlove kroky sú správne.
Bohdan: Chyba je v kroku (4). Malo byť $x=b/2a$, t. j. $x=\frac{\sqrt{2}-1}2$.
Mária: Chyba je v kroku (5). Nerovnosť sa nedá zjednodušiť na tvar $$ 4\left(x−\frac{1−\sqrt{2}}{2}\right)^2\leq 0. $$
Tomáš: Chyba je v kroku (6). Nerovnica nemá riešenie.
Diskriminant kvadratického trojčlena $ax^2+bx+c=0$ je daný vzorcom $$ D =b^2-4ac. $$ V našom prípade $a=4$, $b=4(\sqrt{2}-1)$ a $c=3-2\sqrt{2}$, t.j. $$\begin{aligned} D =(4(\sqrt{2}−1))^2&−4\cdot 4(3−2\sqrt{2})=16(2−2\sqrt{2}+1)−16(3-2\sqrt{2})= \cr&=16(3-2\sqrt{2})−16(3-2\sqrt{2})=0. \end{aligned}$$