Pavel řešil nerovnici $$ 4x^2+4\sqrt{2}x+3\leq 4x+2\sqrt{2} $$ takto:
(1) Všechny členy přesunul na levou stranu nerovnice: $$ 4x^2+4\sqrt{2}x−4x+3−2\sqrt{2}\leq 0. $$
(2) Výraz na levé straně upravil: $$ 4x^2+4(\sqrt{2}−1)x+3−2\sqrt{2}\leq 0. $$
(3) Vypočítal diskriminant kvadratického trojčlenu: $$\begin{aligned} D &=4(\sqrt{2}−1)^2−4(3−2\sqrt{2})\cr D &=4(2−2\sqrt{2}+1)-12+8\sqrt{2}\cr D &=8-8\sqrt{2}+4-12+8\sqrt{2}\cr D &=0 \end{aligned}$$
(4) Pavel zjistil, že diskriminant je roven nule. Z toho usoudil, že kvadratický trojčlen na levé straně nerovnice má jediný (dvojnásobný) kořen. Pavel věděl, že v tomto případě je kořen kvadratického trojčlenu $ax^2+bx+c$ daný vzorcem $x=−b/2a$, tzn. $$ x=−\frac{4(\sqrt{2}−1)}{8}=\frac{1−\sqrt{2}}{2}. $$
(5) Kromě toho si Pavel uvědomil, že kvadratický trojčlen, jehož diskriminant je roven nule, je dokonalý čtverec. Zjednodušil tedy nerovnici do tvaru $$ 4\left(x−\frac{1−\sqrt{2}}{2}\right)^2 \leq 0. $$
(6) Z toho usoudil, že nerovnici vyhovuje pouze
$$
x=\frac{1−\sqrt{2}}{2}.
$$
Učitel vyzval Pavlovy spolužáky, aby okomentovali jeho řešení. Zde jsou některé z jejich komentářů. Který z nich je správný?
Jana: Výsledek je správný, ale Pavel nesprávně dosadil koeficienty do vzorce pro výpočet diskriminantu $D$. Správnou hodnotu diskriminantu $D$ dostal jen náhodou. Chyba je v kroku (3).
Richard: Celé řešení je správně. Všechny Pavlovy kroky jsou správné.
Bob: Chyba je v kroku (4). Mělo být $x=b/2a$, tj. $x=\frac{\sqrt{2}−1}2$.
Marie: Chyba je v kroku (5). Nerovnici nelze upravit do tvaru $$ 4\left(x−\frac{1−\sqrt{2}}{2}\right)^2\leq 0. $$
Tomáš: Chyba je v kroku (6). Nerovnice nemá řešení.
Diskriminant kvadratického trojčlenu $ax^2+bx+c=0$ je dán vzorcem $$ D =b^2-4ac. $$ V našem případě $a=4$, $b=4(\sqrt{2}−1)$ a $c=3−2\sqrt{2}$, tj. $$\begin{aligned} D =(4(\sqrt{2}−1))^2&−4\cdot 4(3−2\sqrt{2})=16(2−2\sqrt{2}+1)−16(3-2\sqrt{2})= \cr&=16(3-2\sqrt{2})−16(3-2\sqrt{2})=0. \end{aligned}$$