Paweł rozwiązał nierówność $$ 4x^2+4\sqrt{2}x+3\leq 4x+2\sqrt{2} $$ w ten sposób:
(1) Przeniósł wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności: $$ 4x^2+4\sqrt{2}x−4x+3−2\sqrt{2}\leq 0. $$
(2) Połączył podobne wyrażenia: $$ 4x^2+4(\sqrt{2}−1)x+3−2\sqrt{2}\leq 0. $$
(3) Obliczył wyróżnik trójmianu kwadratowego: \begin{aligned} D &=4(\sqrt{2}−1)^2−4(3−2\sqrt{2})\cr D &=4(2−2\sqrt{2}+1)-12+8\sqrt{2}\cr D &=8-8\sqrt{2}+4-12+8\sqrt{2}\cr D &=0 \end{aligned}
(4) Paweł odkrył, że wyróżnik wynosi zero, więc wielomian kwadratowy po lewej stronie nierówności ma tylko jeden pierwiastek (podwójny pierwiastek). Wiedział, że w tym przypadku pierwiastek wielomianu kwadratowego $ax^2+bx+c$ jest dany wzorem $x=-b/2a$, tj. $$ x=−\frac{4(\sqrt{2}−1)}{8}=\frac{1−\sqrt{2}}{2}. $$
(5) Ponadto Paweł zdał sobie sprawę, że trójmian kwadratowy, którego wyróżnik jest równy zero, jest kwadratem doskonałym i uprościł nierówność do postaci $$ 4\left(x-\frac{1-\sqrt{2}}{2}\right)^2 \leq 0. $$
(6) Z powyższej nierówności wywnioskował, że jest ona spełniona tylko wtedy, gdy $$ x=\frac{1−\sqrt{2}}{2}. $$
Nauczyciel poprosił kolegów Pawła o skomentowanie jego rozwiązania. Oto kilka komentarzy. Który z nich jest poprawny?
Jane: Wynik jest poprawny, ale Paweł nieprawidłowo podstawił współczynniki do wzoru na wyróżnik $D$. Prawidłową wartość wyróżnika $D$ otrzymał przez przypadek. Błąd znajduje się w kroku (3).
Rick: Całe rozwiązanie jest poprawne. Wszystkie kroki Pawła są poprawne.
Bob: Błąd jest w kroku (4). Powinno być $x=b/2a$, czyli $x=\frac{\sqrt{2}-1}2$.
Mary: Błąd jest w kroku (5). Nierówności nie można uprościć do postaci $$ 4\left(x−\frac{1−\sqrt{2}}{2}\right)^2\leq 0. $$
Tom: Błąd w kroku (6). Nierówność nie ma rozwiązania.
Wyróżnik trójmianu kwadratowego $ax^2+bx+c=0$ jest dany wzorem $$ D =b^2-4ac. $$ W naszym przypadku $a=4$, $b=4(\sqrt{2}-1)$ i $c=3-2\sqrt{2}$, tj. $$\begin{aligned} D =(4(\sqrt{2}−1))^2&−4\cdot 4(3−2\sqrt{2})=16(2−2\sqrt{2}+1)−16(3-2\sqrt{2})= \cr&=16(3-2\sqrt{2})−16(3-2\sqrt{2})=0. \end{aligned}$$