Analytická geometrie v prostoru

9000111802

Část: 
B
Pro kterou z následujících přímek platí, že její vzdálenost od roviny \(\rho \) je rovna \(1\)? \[ \begin{aligned}[t] \rho \colon x& = 1 + r, & \\y& = 1 + 2s, \\z& = 1 + r + s;\ r,s\in \mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\(\begin{aligned}[t] o\colon x& = t, & \\y & = 2 + 2t, \\z & = -1 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] p\colon x& = 1 - 2t, & \\y & = -3 - t, \\z & = 2 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] q\colon x& = 1 - 2t, & \\y & = -3 - t, \\z & = 1 + 2t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000106606

Část: 
A
Určete vzájemnou polohu přímek \(p\) a \(q\) v prostoru, je-li \[\begin{aligned} p = \{[2t;\ 3 - t;\ 4 - t]\text{,}\ t\in \mathbb{R}\}, & &q\colon &x =\phantom{ -}2 - 2s, & & & & \\ & & &y = -1 +\phantom{ 4}s, & & & & \\ & & &z =\phantom{ -}6 + 3s;\ s\in \mathbb{R}. & & & & \end{aligned}\]
Dané přímky jsou mimoběžné.
Dané přímky jsou rovnoběžné různé.
Dané přímky jsou různoběžné.
Dané přímky jsou totožné.

9000106607

Část: 
A
Určete vzájemnou polohu přímek \(p\) a \(q\) v prostoru, je-li \[\begin{aligned} p\colon &x = 2, &q\colon &x =\phantom{ -}1 -\phantom{ 3}s, & & & & \\ &y = 3 -\phantom{ 2}t, & &y =\phantom{ -}2 + 3s, & & & & \\ &z = 3 + 2t;\ t\in \mathbb{R}, & &z = -1 - 2s;\ s\in \mathbb{R}. & & & & \end{aligned}\]
Dané přímky jsou mimoběžné.
Dané přímky jsou rovnoběžné různé.
Dané přímky jsou různoběžné.
Dané přímky jsou totožné.

9000106608

Část: 
A
Určete vzájemnou polohu přímek \(p\) a \(q\) v prostoru, je-li \[\begin{aligned} p\colon\, &x = 2, &q\colon\, &x =\phantom{ 1} - s, & & & & \\ &y = 2 + t, & &y = 4, & & & & \\ &z = 3;\ t\in \mathbb{R}, & &z = 1 - s;\ s\in \mathbb{R}. & & & & \end{aligned}\]
Dané přímky jsou různoběžné.
Dané přímky jsou rovnoběžné různé.
Dané přímky jsou mimoběžné.
Dané přímky jsou totožné.

9000106609

Část: 
A
Určete vzájemnou polohu přímek \(p\) a \(q\) v prostoru, je-li přímka \(p\) dána body \(A = [3;-2;1]\), \(B = [0;7;7]\) a přímka \(q\) body \(C = [5;-8;-3]\), \(D = [6;-11;-5]\).
Dané přímky jsou totožné.
Dané přímky jsou rovnoběžné různé.
Dané přímky jsou různoběžné.
Dané přímky jsou mimoběžné.

9000106301

Část: 
B
Rovina \(\alpha \) je zadaná obecnou rovnicí: \(2x + y - z - 5 = 0\). Určete parametrické vyjádření přímky \(k\), která je kolmá na rovinu \(\alpha \) a prochází bodem \(A = [0;0;1]\).
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ 1 -} 2t, & \\y& =\phantom{ 1 -}\ t, \\z& = 1 - t;\ t\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ -}2 + 2m, & \\y& =\phantom{ -}1 +\phantom{ 2}m, \\z& = -1 -\phantom{ 2}m;\ m\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ -}2k, & \\y& =\phantom{ -2}k, \\z& = -\phantom{2}k;\ k\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] x& =\phantom{ -}2, & \\y& =\phantom{ -}1, \\z& = -1 + u;\ u\in \mathbb{R} \\ \end{aligned}\)

9000106610

Část: 
A
Určete vzájemnou polohu přímek \(p\) a \(q\) v prostoru, je-li přímka \(p\) dána body \(A = [1;-4;2]\), \(B = [3;0;0]\) a přímka \(q\) body \(C = [3;-5;5]\), \(D = [-1;-3;-1]\).
Dané přímky jsou různoběžné.
Dané přímky jsou rovnoběžné různé.
Dané přímky jsou totožné.
Dané přímky jsou mimoběžné.

9000106302

Část: 
B
Rovina \(\alpha \) je zadaná obecnou rovnicí: \(2x + y - z - 5 = 0\). Bodem \(A = [0;0;1]\) je vedena kolmice \(k\) k této rovině. Určete souřadnice bodu \(S\), ve kterém kolmice \(k\) protíná danou rovinu.
\(S = [2;1;0]\)
\(S = [2;0;1]\)
\(S = [-2;1;0]\)
\(S = [-2;0;1]\)

9000106303

Část: 
C
Rovina \(\alpha \) je zadaná obecnou rovnicí: \(2x + y - z - 5 = 0\). Určete souřadnice bodu \(A'\), který je obrazem bodu \(A = [0;0;1]\) v rovinové souměrnosti podle roviny \(\alpha \).
\(A' = [4;2;-1]\)
\(A' = [6;3;-2]\)
\(A' = [4;2;1]\)
\(A' = [0;0;1]\)

9000106305

Část: 
B
V rovině \(\alpha \) zadané obecnou rovnicí \(2x + y - z - 5 = 0\) leží bod \(B = [2;0;?]\). Určete obsah trojúhelníka \(ABS\), kde \(A = [0;0;1]\) a \(S\) je pata kolmice \(k\) vedené bodem \(A\) k rovině \(\alpha \).
\(\sqrt{3}\)
\(2\)
\(4\)
\(\sqrt{6}\)