Derivácia funkcie

2000010805

Časť: 
C
Daný zotrvačník sa roztáča tak, že uhol jeho otočenia závisí na čase podľa rovnice \[ \varphi = 4t^2, \] kde uhol otočenia \(\varphi\) udávame v radiánoch a čas \(t\) v sekundách. Za ako dlho sa bude pohybovať uhlovou rýchlosťou \(36\,\frac{\mathrm{rad}}{s}\)? (Pomôcka: Uhlovú rýchlosť môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(\varphi(t)\), tj. \(\omega(t)=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\).)
\( 4{,}5 \,\mathrm{s}\)
\( 3\,\mathrm{s}\)
\( 288 \,\mathrm{s}\)
\( 9 \,\mathrm{s}\)

2000010806

Časť: 
C
Cievkou, ktorej indukčnosť je \(0{,}06\,\mathrm{H}\) preteká striedavý prúd \[ i=0{,}2\sin(100\pi t),\] kde čas \(t\) je v sekundách a prúd \(i\) je meraný v ampéroch. Určte veľkosť indukovaného napätia v čase \(t=2\) s. (Pomôcka: Okamžité napätie \(u\), ktoré sa indukuje v cievke s indukčnosťou \(L\) prietokom striedavého prúdu \(i\) môžeme určiť pomocou derivácie funkcie \(i(t)\), tj. \(u(t)=-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\). Pre veľkosť napätia nie je záporné znamienko podstatné.)
\( 1{,}2\pi \,\mathrm{V}\)
\( 20\pi \,\mathrm{V}\)
\( 0 \,\mathrm{V}\)
\( 12 \,\mathrm{V}\)

2010013701

Časť: 
C
Pohyb dvoch telies je popísaný rovnicami \[s_1=\frac12t^2+6t+1\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+t^2+4,\] kde dráha \(s\) je uvedená v metroch a čas \(t\) v sekundách. Určte, v akom čase sa budú obidve telesá pohybovať rovnakou rychlosťou.\[\] Pomôcka: Rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=2\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt2\,\mathrm{s}\)
\(t=3\,\mathrm{s}\)
Rýchlosti daných telies budú vždy rozdielne.

2010013702

Časť: 
C
Pohyb dvoch telies je popísaný rovnicami \[s_1=\frac32t^2+3t+2\mbox{,}\quad s_2=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+1,\] kde dráha \(s\) je uvedená v metroch a čas \(t\) v sekundách. Určte, v akom čase sa budú obidve telesá pohybovať rovnakou rychlosťou.\[\] Pomôcka: Rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\).
\(t=3\,\mathrm{s}\)
\(t=1\,\mathrm{s}\)
\(t=\sqrt7\,\mathrm{s}\)
Rýchlosti daných telies budú vždy rozdielne.

2010013703

Časť: 
C
Máme telesá \(A\), \(B\), \(C\) a \(D\), ktoré sa dajú do pohybu súčasne. Vieme, ako sa mení dráha či rýchlosť daných telies v závislosti na čase: \[\begin{aligned} A: \, s=2t^2+12t+1,\qquad&C:\, v=10t+4,\\ B:\, s=\frac13t^3+\frac{t^2}{2}+2,\qquad&D:\, v=\frac12t^2+1.\end{aligned}\] Dráha \(s\) je meraná v metroch, čas \(t\) v sekundách a rýchlosť \(v\) v metroch za sekundu. Určte, ktoré teleso sa v čase \(t=1\,\mathrm{s}\) pohybuje s najväčším zrychlením. \[\] Pomôcka: Rýchlosť \(v(t)\) môžme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\). Zrýchlenie \(a(t)\) vieme určiť ako deriváciu funkcie \(v(t)\), tj. \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Protože rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), môžme zrýchlenie určiť pomocou druhej derivácie \(s(t)\), tj. \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).
\(C\)
\(B\)
\(A\)
\(D\)

2010013704

Časť: 
C
Máme telesá \(A\), \(B\), \(C\) a \(D\), ktoré sa dajú do pohybu súčasne. Vieme, ako sa mení dráha či rýchlosť daných telies v závislosti na čase: \[\begin{aligned} A: \, s=\frac12t^2+10t+1,\qquad&C:\, v=9t+15,\\ B:\, s=\frac13t^3+t^2+4,\qquad\ \ &D:\, v=\frac52t^2+3.\end{aligned}\] Dráha \(s\) je meraná v metroch, čas \(t\) v sekundách a rýchlosť \(v\) v metroch za sekundu. Určte, ktoré teleso sa v čase \(t=1\,\mathrm{s}\) pohybuje s najväčším zrychlením. \[\] Pomôcka: Rýchlosť \(v(t)\) môžme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), tj. \(v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\). Zrýchlenie \(a(t)\) vieme určiť ako deriváciu funkcie \(v(t)\), tj. \(a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Protože rýchlosť môžme určiť pomocou derivácie funkcie \(s(t)\), môžme zrýchlenie určiť pomocou druhej derivácie \(s(t)\), tj. \(\,a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}\).
\(C\)
\(B\)
\(A\)
\(D\)

9000063303

Časť: 
C
Derivácia funkcie \(f\colon y = \sqrt{\sin x}\) je rovná:
\(f'(x) = \frac{\cos x} {2\sqrt{\sin x}},\ x\in \mathop{\mathop{\bigcup }}\nolimits _{k\in \mathbb{Z}}\left (2k\pi ;\pi + 2k\pi \right )\)
\(f'(x) = \frac{\sin x} {2\sqrt{\cos x}},\ x\in \mathop{\mathop{\bigcup }}\nolimits _{k\in \mathbb{Z}}\left (2k\pi ; \frac{\pi } {2} + 2k\pi \right )\)
\(f'(x) = \frac{1} {2\sqrt{\sin x}},\ x\in \mathop{\mathop{\bigcup }}\nolimits _{k\in \mathbb{Z}}\left (2k\pi ;\pi + 2k\pi \right )\)
\(f'(x) = \frac{\cos x} {2\sqrt{\sin x}},\ x\in \mathop{\mathop{\bigcup }}\nolimits _{k\in \mathbb{Z}}\left \langle 2k\pi ; \frac{\pi } {2} + 2k\pi \right \rangle \)

9000063305

Časť: 
C
Derivácia funkcie \(f\colon y = \sqrt{\frac{x-1} {x+1}}\) je rovná:
\(f'(x) = \frac{1} {(x+1)^{2}} \sqrt{\frac{x+1} {x-1}},\ x\in (-\infty ;-1)\cup (1;\infty )\)
\(f'(x) = \frac{\sqrt{x-1}} {(x-1)^{2}\sqrt{x+1}},\ x\in (-\infty ;-1)\cup \langle 1;\infty )\)
\(f'(x) = \frac{x-1} {2\sqrt{(x+1)^{3}}} ,\ x\neq - 1\)
\(f'(x) = \frac{x-1} {\sqrt{(x+1)^{3}}} ,\ x\in (-\infty ;-1)\cup \langle 1;\infty )\)

9000063306

Časť: 
C
Derivácie funkcie \(f\colon y =\mathrm{e} ^{\sin 2x}\) je rovná:
\(f'(x) = 2\mathrm{e}^{\sin 2x}\cos 2x,\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) = x\mathrm{e}^{\sin 2x}\cos 2x,\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) =\mathrm{e} ^{\sin 2x}\sin 2x,\ x\in \mathbb{R}\)
\(f'(x) =\mathrm{e} ^{\cos 2x},\ x\in \mathbb{R}\)