Układy równań i nierówności nieliniowych

9000031101

Część: 
B
Rozwiąż następujący układ równań i wybierz poprawną odpowiedź. \[\begin{aligned} (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 1 & & \\2x^{2} + 2y^{2} - 12x - 4y + 18 = 0 & & \end{aligned}\]
Więcej niż dwa rozwiązania.
Nie ma rozwiązania.
Tylko jedno rozwiązanie.
Dwa rozwiązania.

9000031102

Część: 
B
Rozwiąż następujący układ równań i wybierz poprawną odpowiedź. \[\begin{aligned} (x - 1)^{2} + y^{2} = 1 & & \\(x - 4)^{2} + y^{2} = 4 & & \end{aligned}\]
Tylko jedno rozwiązanie \(\left [x,y\right ]\), gdzie \(y = 0\).
Nie ma rozwiązania.
Tylko jedno rozwiązanie \(\left [x,y\right ]\), gdzie \(y > 0\).
Dwa rozwiązania \(\left [x_{1},y_{1}\right ]\), \(\left [x_{2},y_{2}\right ]\), gdzie \(y_{1} = -y_{2}\).

2000017704

Część: 
C
Zakładając, że \( x \in \mathbb{R}\), znajdź zbiór rozwiązań następującego układu nierówności. \[\begin{aligned} 2x- [x-(2x+1)]\cdot 3 &> (3+x)-2(1-x)-2x+6 \\ x^2-3\cdot [x-2x(1-x)] &< 5(10-x^2)-2x \end{aligned}\]
\( (1;10)\)
\( \emptyset \)
\( (-10;1)\)
\( \{1;10\}\)

2000020301

Część: 
C
Rozwiąż podany układ równań w zbiorze liczb rzeczywistych. \[ \begin{aligned} x+y&=-5\\ 1+\sqrt{2x+4y}&=\sqrt{x+3y}\\ \end{aligned}\] Wybierz prawdziwe stwierdzenie.
\(x=-12,\ y=7\)
\(x=12,\ y=7\)
Układ równań nie ma rozwiązania.
Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

2010011206

Część: 
C
Dany jest układ równań \[\begin{aligned} y & = \frac{k} {x}, & & \\y & = a, & & \end{aligned}\] gdzie \(a\), \(k\) są rzeczywistymi parametrami, a \(x\), \(y\) są rzeczywistymi zmiennymi. Określ warunki dla \(a\) i \(k\), aby układ miał jedno rozwiązanie w \(\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{-}\).
\(a < 0\) i \(k < 0\)
\(a < 0\) i \(k > 0\)
\(a > 0\) i \(k < 0\)
\(a > 0\) i \(k > 0\)

9000009909

Część: 
C
Rozważmy układ \[\begin{aligned} y & = \frac{k} {x}, & & \\y & = a, & & \end{aligned}\] gdzie \(a\), \(k\) są rzeczywistymi parametrami, a \(x\), \(y\) są rzeczywistymi zmiennymi. Określ warunki, dla których dany układ ma tylko jedno rozwiązanie \(\mathbb{R}^{-}\times \mathbb{R}^{-}\).
\(a < 0\) i \(k > 0\)
\(a < 0\) i \(k < 0\)
\(a > 0\) i \(k < 0\)
\(a > 0\) i \(k > 0\)

9000020904

Część: 
C
Określ warunek parametru \(c\in \mathbb{R}\), dla którego następujący układ ma dwa rozwiązania w \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\). \[ \begin{alignedat}{80} &x^{2} & + &y^{2} & = 2 & & & & & & \\ &x & + &c & = y & & & & & & \\\end{alignedat}\]
\(|c| < 2\)
\(|c| = 2\)
\(|c| > 2\)
\(c = 2\)

9000020905

Część: 
C
Określ warunek parametru \(c\in \mathbb{R}\), dla którego następujący układ ma tylko jedno rozwiązanie w \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\). \[ \begin{alignedat}{80} &x^{2} & + &y^{2} & = 2 & & & & & & \\ &x & + &c & = y & & & & & & \\\end{alignedat}\]
\(|c| = 2\)
\(|c| > 2\)
\(|c| < 2\)
\(c = 2\)

9000020908

Część: 
C
Zakładając, że rzeczywisty parametr \(c\) spełnia \(c > 16\), rozwiąż podany układ i wybierz stwierdzenie zgodne z prawdą. \[ \begin{alignedat}{80} &y^{2} & - &4x & & = 0 & & & & & & \\8 &x & - &4y & + c & = 0 & & & & & & \\\end{alignedat}\]
Układ nie ma rozwiązania.
Układ ma dwa rozwiązania.
Układ ma tylko jedno rozwiązanie.
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.