Uvažujme funkciu $f(x) = -2x - 1$ s definičným oborom $D(f) = \langle -3, 4)$. Peter dostal za úlohu určiť jej obor hodnôt.
Postupoval nasledovne:
(1) Najprv dosadil ľavý krajný bod definičného oboru do predpisu funkcie: $$ f(-3)=-2(-3)-1=6-1=5 $$
(2) Potom si všimol, že daný interval je sprava otvorený, teda pravá krajná hodnota $x = 4$ do defičného oboru nepatrí. Peter potom uvažoval nasledovne: „Zoberiem lineárnu funkciu s rovnakým predpisom $g(x) = -2x - 1$, ale s definičným oborom $\mathbb{R}$. Ak do tohto predpisu dosadím $x = 4$, dostanem:” $$ g(4)=-2\cdot 4-1=-8-1=-9 $$
(3) Nakoniec Peter usúdil: „Keďže ide o lineárnu funkciu, ktorá je monotónna, preto predchádzajúce informácie stačia na určenie oboru hodnôt. Hodnota funkcie na ľavom krajnom bode je $5$, a keď sa $x$ blíži k pravému krajného bodu, hodnota funkcie sa blíži k $-9$. Keďže pravý krajný bod nie je súčasťou definičného oboru tak $-9$ nepatrí do oboru hodnôt. Teda konečný výsledok je:” $$ H(f)=\langle 5,-9) $$
Urobil Peter vo svojom postupe chybu? Ak áno, určte kde.
Áno, v kroku (3) urobil chybu. V krokoch (1) a (2) postupoval správne, avšak obor hodnôt určil nesprávne. Mal by byť $H(f)=(-9,5\rangle $, pretože ľavý krajný bod intervalu musí byť vždy menší ako pravý.
Áno, v kroku (3) urobil chybu. V krokoch (1) a (2) postupoval správne, avšak obor hodnôt určil nesprávne. Správne má byť $H(f)=\langle -9, 5)$, pretože definičný obor bol zadaný ako interval uzavretý zľava.
Áno, v kroku (2) urobil chybu. Pri určovaní oboru hodnôt nemôžeme dosadzovať krajné body do inej funkcie (funkcie s iným definičným oborom).
Áno, v kroku (1) urobil chybu. Správny výpočet je: $$ f(-3)=-6-1=-7 $$
Nie, vo všetkých krokoch postupoval správne.
Graf na obrázku zobrazuje graf danej funkcie $f$. Z grafu je zrejmé, že obor hodnôt funkcie $f$ je: $$ H(f)=(-9,5\rangle $$
