Je dána funkce $f(x)=-2x-1$ s definičním oborem $D(f)=\langle -3, 4)$. Petr měl určit její obor hodnot.
Postupoval takto:
(1) Nejprve dosadil do předpisu funkce levou krajní hodnotu intervalu určujícího definiční obor: $$ f(-3)=-2(-3)-1=6-1=5 $$
(2) Pak si všiml, že definičním oborem je zprava otevřený interval, což znamená, že pravá krajní hodnota $x=4$ do definičního oboru nepatří. Petr uvažoval takto: “Použiji lineární funkci se stejnou rovnicí $g(x)=-2x-1$, ale s definičním oborem $\mathbb{R}$. Pokud do rovnice dosadím $x= 4$, dostanu:” $$ g(4)=-2\cdot 4-1=-8-1=-9 $$
(3) Nakonec si Petr řekl: “Jedná se o lineární funkci, ta je monotónní. Tudíž předchozí informace stačí k určení oboru hodnot. Funkční hodnota v levém krajním bodě je $5$, a jelikož $x$ se blíží pravému krajnímu bodu, blíží se pak funkční hodnota $-9$. Protože pravý krajní bod nepatří do definičního oboru, ani $-9$ nepatří do oboru hodnot.” Petrův závěr tedy byl: $$ H(f)=\langle 5,-9) $$
Udělal Petr ve svém postupu chybu? Pokud ano, určete kde.
Ano, udělal chybu v kroku (3). V krocích (1) a (2) postupoval správně, ale špatně určil obor hodnot. Správně mělo vyjít $H(f)=(-9,5\rangle $, protože levý krajní bod musí být v intervalu vždy menší než pravý.
Ano, udělal chybu v kroku (3). V krocích (1) a (2) postupoval správně, ale špatně určil obor hodnot. Správně mělo vyjít $H(f)=\langle -9, 5)$, protože definičním oborem byl zleva uzavřený interval.
Ano, udělal chybu v kroku (2). Při určování oboru hodnot nelze dosazovat krajní body definičního oboru do různých funkcí (funkcí s různými definičními obory).
Ano, udělal chybu v kroku (1). Správný výpočet je: $$ f(-3)=-6-1=-7 $$
Ne, ve všech krocích postupoval správně.
Na obrázku je graf zadané funkce $f$. Z grafu je zřejmé, že oborem hodnot funkce $f$ je: $$ H(f)=(-9,5\rangle $$
