Consideremos la función $f(x)=-2x-1$ con el dominio restringido al intervalo $D(f)=[ -3, 4)$. A Pedro se le encargó hallar su intervalo.
Procedió del siguiente modo:
(1) En primer lugar, sustituyó el extremo izquierdo del dominio en la ecuación de la función: $$ f(-3)=-2(-3)-1=6-1=5 $$
(2) A continuación, observó que el dominio dado está abierto por la derecha, lo que significa que no incluye el extremo derecho, $x=4$. Peter razonó entonces de la siguiente manera: "Consideraré la función lineal con la misma ecuación, $g(x)=-2x-1$, pero con su dominio extendido a $\mathbb{R}$. Si sustituyo $x= 4$ en esta ecuación, obtengo:” $$ g(4)=-2\cdot 4-1=-8-1=-9 $$
(3) Finalmente, Peter pensó: "Como se trata de una función lineal, es monótona. Por lo tanto, la información anterior es suficiente para determinar el intervalo. El valor de la función en el extremo izquierdo es $5$, y a medida que $x$ se acerca al extremo derecho, el valor de la función se aproxima a $-9$. Sin embargo, como el extremo derecho no está incluido en el dominio, $-9$ no forma parte del rango. Por lo tanto, el resultado final es:” $$ H(f)=[ 5,-9) $$
¿Cometió Peter algún error en su procedimiento? Si es así, identifícalo y dónde.
Sí, cometió un error en el paso (3). Procedió correctamente en los pasos (1) y (2), sin embargo determinó incorrectamente el intervalo. Debería ser $H(f)=(-9,5] $ porque el extremo izquierdo de un intervalo siempre debe ser menor que el derecho.
Sí, cometió un error en el paso (3). Procedió correctamente en los pasos (1) y (2), sin embargo determinó incorrectamente el intervalo. Debería ser $H(f)=[ -9, 5)$, porque el dominio fue dado como un intervalo cerrado a la izquierda.
Sí, cometió un error en el paso (2). Al determinar el rango, no podemos sustituir los puntos finales en una función diferente (una función con un dominio diferente).
Sí, cometió un error en el paso (1). El cálculo correcto es: $$ f(-3)=-6-1=-7 $$
No, todos los pasos son correctos.
La figura muestra la gráfica de la función $f$. dada. En la gráfica se observa claramente que el rango de $f$ es: $$ H(f)=(-9,5] $$
