Dana jest funkcja $f(x)=-2x-1$ z dziedziną ograniczoną do przedziału $D(f)=\langle -3, 4)$. Peter miał za zadanie określić jej zakres.
Postępował w następujący sposób:
(1) Najpierw podstawił lewy punkt końcowy dziedziny do równania funkcji: $$ f(-3)=-2(-3)-1=6-1=5 $$
(2) Następnie zauważył, że dana dziedzina jest otwarta po prawej stronie, co oznacza, że nie zawiera prawego punktu końcowego, $x=4$. Peter rozumował w następujący sposób: "Rozważę funkcję liniową o tym samym równaniu, $g(x)=-2x-1$, ale z jej dziedziną rozszerzoną do $\mathbb{R}$. Jeśli podstawię $x= 4$ do tego równania, otrzymam:" $$ g(4)=-2\cdot 4-1=-8-1=-9 $$
(3) W końcu Peter pomyślał: "Ponieważ jest to funkcja liniowa, jest ona monotoniczna. Dlatego poprzednie informacje są wystarczające do określenia zakresu. Wartość funkcji w lewym punkcie końcowym wynosi $5$, a gdy $x$ zbliża się do prawego punktu końcowego, wartość funkcji zbliża się do $-9$. Ponieważ jednak prawy punkt końcowy nie należy do dziedziny, $-9$ nie jest częścią zakresu. Ostateczny wynik to:" $$ H(f)=\langle 5,-9) $$
Czy Peter popełnił jakieś błędy w swojej procedurze? Jeśli tak, wskaż, gdzie.
Tak, popełnił błąd w kroku (3). Prawidłowo wykonał kroki (1) i (2), jednak nieprawidłowo określił zakres. Powinno być $H(f)=(-9,5\rangle $ ponieważ lewy punkt końcowy przedziału musi być zawsze mniejszy niż prawy.
Tak, popełnił błąd w kroku (3). Prawidłowo wykonał kroki (1) i (2), jednak nieprawidłowo określił zakres. Powinno być $H(f)=\langle -9, 5)$, ponieważ domena została podana jako zamknięty przedział po lewej stronie.
Tak, popełnił błąd w kroku (2). Podczas określania zakresu nie możemy zastąpić punktów końcowych inną funkcją (funkcją o innej dziedzinie).
Tak, popełnił błąd w kroku (1). Prawidłowe obliczenia to: $$ f(-3)=-6-1=-7 $$
Nie, wszystkie kroki są prawidłowe.
Rysunek przedstawia wykres danej funkcji $f$. Z wykresu wyraźnie widać, że zakres funkcji $f$ wynosi: $$ H(f)=(-9,5\rangle $$
