Úloha:
Určte vzdialenosť, ktorú musí prejsť loď plaviaca sa po poludníku z domovského prístavu do cieľového miesta, ak sa domovský prístav nachádza na rovníku a cieľové miesto sa nachádza na zemepisnej šírke $10^\circ$.
Alica riešila úlohu v nasledujúcich krokoch:
(1) Alica tvrdila, že na účely tejto úlohy možno zemepisnú šírku považovať za veľkosť uhla medzi rovinou rovníka a priamkou $p$ prechádzajúcou stredom Zeme a bodom cieľového miesta lode na zemskom povrchu.
Nakreslila diagram ($2D$) prierezu Zeme rovinou obsahujúcou priamku $p$, ktorá je kolmá na rovinu rovníka. Jej cieľom bolo zistiť dĺžku oblúka $\widehat{AB}$ zodpovedajúceho stredovému uhlu $\varphi=10^\circ$ (pozri diagram).
(2) Určila veľkosť uhla $\varphi$ v oblúkovej miere (radiány): Daná šírka $10^\circ$ zodpovedá $\frac{1}{18}$ priamemu uhlu, čo znamená: $$\varphi=\frac{1}{18}\pi\ \mathrm{(rad)}$$
(3) Alica tvrdila, že v kružnici predstavujúcej Zem je dĺžka oblúka zodpovedajúca stredovému uhlu $\varphi=\frac{1}{18}\pi$:
(4) Alica doplnila jednotky (km) a dospela k záveru, že hľadaná vzdialenosť, ktorú musí loď prekonať, je približne $0{,}175\,\mathrm{km}$.
Výsledok je nesprávny. V ktorom kroku urobila Alica chybu?
Chyba je v kroku (1). Alica nesprávne pochopila zemepisnú šírku. Zemepisná šírka je uhlová vzdialenosť miesta na povrchu Zeme od pólov (v našom prípade od severného pólu). Uhol $\varphi$ v grafe by mal byť $80^\circ$.
Chyba je v kroku (2). Daná šírka $10^\circ$ zodpovedá $\frac{1}{10}$ priamemu uhlu.
Chyba je v kroku (3). V kružnici s polomerom $r$ je dĺžka oblúka zodpovedajúca stredovému uhlu $\varphi$ je $\varphi\cdot r$.
Chyba je v kroku (4). Vypočítaná hodnota $0{,}175$ zodpovedá $175\,\mathrm{km}$.
Alica urobila chybu v kroku (3). Dĺžka oblúka $\frac{1}{18}\pi\approx 0{,}175$ zodpovedá stredovému uhlu $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ len v jednotkovej kružnici.
Výsledok by bol teda správny, keby polomer Zeme bol $1\,\mathrm{km}$. Na kružnici s polomerom $r$ je dĺžka oblúka zodpovedajúca stredovému uhlu $\varphi$ je $\varphi\cdot r$.
Polomer Zeme je $6\, 371\,\mathrm{km}$.
Preto dĺžka oblúka na povrchu Zeme zodpovedajúca stredovému uhlu $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ je: $$\frac{\pi}{18}\cdot6\,371=1\,112\,\mathrm{km}.$$
Loď plávajúca pozdĺž poludníka z domovského prístavu na zemepisnej šírke $10^\circ$ do cieľa na rovníku teda musí prejsť približne $1\,112\,\mathrm{km}$.
