Úkol: Určete vzdálenost, kterou musí urazit loď plující podél poledníku z domovského přístavu na cílový bod, pokud je domovský přístav umístěn na rovníku a cíl se nachází na zeměpisné šířce $10^\circ$.
Alice vyřešila úkol v následujících krocích:
(1) Alice tvrdila, že pro potřeby této úlohy lze považovat zeměpisnou šířku za úhel mezi rovinou rovníku a přímkou $p$, která prochází středem Země a bodem cílového místa na povrchu Země. Nakreslila schéma ($2D$) průřezu Země rovinou kolmou na rovinu rovníku. která obsahuje přímku $p$. Hledala tedy délku oblouku $\widehat{AB}$, který odpovídá středovému úhlu $\varphi=10^\circ$ (viz obrázek).
(2) Určila velikost úhlu $\varphi$ v obloukové míře: Zadaná šířka $10^\circ$ odpovídá $\frac{1}{18}$ přímého úhlu, což znamená: $$\varphi=\frac{1}{18}\pi\ \mathrm{(rad)}$$
(3) Alice tvrdila, že v kružnici představující Zemi délka oblouku odpovídá středovému úhlu. Úhlu $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ tedy odpovídá délka oblouku: $$\frac{1}{18}\pi\approx0{,}175$$ (4) Alice přidala jednotku a dospěla k závěru, že požadovaná vzdálenost, kterou loď musí urazit, je přibližně $0{,}175\,\mathrm{km}$.
Výsledek není správný. Ve kterém kroku udělala Alice chybu?
Chyba je v kroku (1). Alice špatně pochopila pojem zeměpisné šířky. Zeměpisná šířka je úhlová vzdálenost místa na zemském povrchu od pólů (v našem případě od Severního pólu). Úhel $\varphi$ v obrázku měl být $80^\circ$.
Chyba je v kroku (2). Uvedená zeměpisná šířka $10^\circ$ odpovídá $\frac{1}{10}$ přímého úhlu.
Chyba je v kroku (3). V kružnici s poloměrem $r$ středovému úhlu $\varphi$ odpovídá délka oblouku $\varphi\cdot r$.
Chyba je v kroku (4). Vypočtená hodnota $0{,}175$ odpovídá $175\,\mathrm{km}$.
Alice udělala chybu ve 3. kroku. Délka oblouku $\frac{1}{18}\pi\approx 0{,}175$ dpovídá středovému úhlu $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ pouze v jednotkové kružnici. Tedy výsledek by byl správný, pokud by poloměr Země byl $1\,\mathrm{km}$. V kružnici s poloměrem $r$, odpovídá středovému úhlu $\varphi$ oblouk $\varphi\cdot r$. Poloměr Země je $6\, 371\,\mathrm{km}$. Proto délka oblouku na povrchu Země odpovídající středovému úhlu $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ je: $$\frac{\pi}{18}\cdot6\,371=1\,112\,\mathrm{km}.$$ Tedy loď plující po poledníku z domovského přístavu na zeměpisné šířce $10^\circ$ do cílové destinace na rovníku musí urazit přibližně $1\,112\,\mathrm{km}$.
