Tarea: Determinar la distancia que debe recorrer un barco que navega por un meridiano desde su puerto de origen hasta su destino, si el puerto de origen se encuentra en el ecuador y el destino está situado a una latitud de $10^\circ$.
Alice resolvió la tarea en los siguientes pasos:
(1) Alice sostiene que, a efectos de esta tarea, la latitud puede considerarse la medida del ángulo entre el plano del ecuador y la línea $p$ que pasa por el centro de la Tierra y el punto de destino del barco en la superficie terrestre. Ha dibujado un diagrama de sección transversal ($2D$) de la Tierra a través del plano que contiene la línea $p$, perpendicular al plano del ecuador. Su objetivo era hallar la longitud del arco $\widehat{AB}$ correspondiente al ángulo central $\varphi=10^\circ$ (véase el diagrama).
(2) Expresó la medida del ángulo $\varphi$ en términos de la longitud del arco: La latitud dada de $10^\circ$ corresponde a $\frac{1}{18}$ de un ángulo recto, lo que significa: $$\varphi=\frac{1}{18}\pi\ \mathrm{(rad)}$$
(3) Alice afirma que en el círculo que representa la Tierra, la longitud del arco correspondiente al ángulo central $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ es: $$\frac{1}{18}\pi\approx0{.}175$$ (4) Alice sumó la unidad y llegó a la conclusión de que la distancia buscada que debe recorrer el barco es de aproximadamente $0{.}175\,\mathrm{km}$.
El resultado es incorrecto. ¿En qué paso se equivocó Alice?
El error está en el paso (1). Alicia entendió mal la latitud. La latitud es la distancia angular de un lugar de la superficie terrestre a los polos (en nuestro caso, al Polo Norte). El ángulo $\varphi$ en el diagrama debería ser $80^\circ$.
El error está en el paso (2). La latitud dada de $10^\circ$ corresponde a $\frac{1}{10}$ de un ángulo recto.
El error está en el paso (3). En una circunferencia de radio $r$, la longitud de arco correspondiente al ángulo central $\varphi$ es $\varphi\cdot r$.
El error está en el paso (4). El valor calculado de $0{.}175$ corresponde a $175\,\mathrm{km}$.
Alice cometió un error en el paso (3). La longitud del arco $\frac{1}{18}\pi\approx 0{.}175$ corresponde al ángulo central $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ sólo en el círculo de la unidad. Por tanto, el resultado sería correcto si el radio de la Tierra fuera $1\,\mathrm{km}$. En un círculo de radio $r$, la longitud de arco correspondiente al ángulo central $\varphi$ es $\varphi\cdot r$. El radio de la Tierra es $6\, 371\,\mathrm{km}$. Por lo tanto, la longitud de arco en la superficie de la Tierra correspondiente al ángulo central $\varphi=\frac{1}{18}\pi$ es: $$\frac{\pi}{18}\cdot6\,371=1\,112\,\mathrm{km}.$$ De este modo, un barco que navega a lo largo de un meridiano desde un puerto de origen a una latitud de $10^\circ$ hasta un destino en el ecuador debe recorrer aproximadamente $1\,112\,\mathrm{km}$.
