Úloha: Vyriešte nerovnicu: $$\mathrm{cotg}\, x < \sqrt3\ \mbox{ pre }\ x\in\mathbb{R}.$$ Mária vyriešila úlohu v nasledujúcich krokoch:
(1) Určila body, v ktorých funkcia kotangens nie je definovaná: $$x=k\cdot\pi,\ \mbox{ kde }\ k\in\mathbb{Z}$$
(2) Zapísala a vyriešila rovnicu $\mathrm{cotg}\, x=\sqrt3$: $$x=\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi,\ \mbox{ kde }\ k\in\mathbb{Z}$$
(3) Uviedla, že funkcia kotangens je klesajúca na každom otvorenom intervale ohraničenom dvoma po sebe idúcimi bodmi, v ktorých je nie je definovaná, t. j., na intervaloch: $$\left(0+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right),\ \mbox{ kde }\ k\in\mathbb{Z}$$
(4) Mária ďalej tvrdila, že predchádzajúce dva kroky znamenajú, že pre každé $k\in\mathbb{Z}$: $$\mathrm{cotg}\, x<\sqrt3\Leftrightarrow 0+k\cdot\pi< x < \frac{\pi}{6}+k\cdot\pi$$
(5) Nakoniec napísala riešenie nerovnice získanej v predchádzajúcom kroku v tvare: $$K=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(0+k\cdot\pi;\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi\right)$$
Riešenie je nesprávne. V ktorom kroku urobila Mária chybu?
Chyba je v kroku (1). Mária nesprávne určila body, v ktorých funkcia kotangens nie je definovaná.
Chyba je v kroku (2). Mária nesprávne vyriešila rovnicu $\mathrm{cotg}\, x=\sqrt3$.
Chyba je v kroku (3). Funkcia kotangens je klesajúca na celom svojom definičnom obore.
Chyba je v kroku (4). Mária nesprávne použila vlastnosť funkcie kotangens opísanú v kroku (3) na riešenie nerovnice $\mathrm{cotg}\, x<\sqrt3$.
Funkcia kotangens je klesajúca na každom otvorenom intervale ohraničenom dvoma po sebe nasledujúcimi bodmi, v ktorých funkcia nie je definovaná, t. j. na intervaloch $$\left(0+k\cdot\pi; \pi+k\cdot\pi\right),\mbox{ kde } k\in\mathbb{Z}.$$
Preto v každom z týchto intervalov (t. j. pre každé $k\in\mathbb{Z}$) platí (pozri obrázok):
$$\mathrm{cotg}\, x< \sqrt3\Leftrightarrow\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi< x< \pi+k\cdot\pi$$
Riešenie nerovnice $\mathrm{cotg}\, x< \sqrt3$ môžeme zapísať ako: $$K=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}\left(\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi;\pi+k\cdot\pi\right)$$
