Učiteľ v triede s $30$ študentmi náhodne vyberie skupinu $4$ študentov, ktorí mu budú asistovať počas týždňa. Tomáš, Peter a Jana sú priatelia a chceli by byť zahrnutí do výberu spolu. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň dvaja z týchto priateľov budú zahrnutí do skupiny?
Výpočet pravdepodobnosti prebiehal nasledovne:
(1) Jana určila celkový počet možných štvorčlenných skupín, ktoré môže učiteľ vytvoriť ako kombinácie $4$ z $30$, t. j.: $${30 \choose 4}=27\,405$$
(2) Peter vypočítal v koľkých skupinách budú všetci traja spoločne. Takých skupín je podľa neho len $27$.
(3) Tomáš vypočítal počet skupín, v ktorých sú presne dvaja z priateľov spolu: $${3\choose2}\cdot{28\choose2}=1\,134$$
(4) Jana rýchlo spočítala počet skupín: $27+1134$. Podľa Jany môže učiteľ vytvoriť celkovo $1\,161$ skupín, v ktorých sú aspoň dvaja z priateľov.
(5) Tomáš dokončil úlohu výpočtom pravdepodobnosti, že aspoň dvaja priatelia budú spolu: $$\frac{1\,161}{27\,405}=0{,}0424$$
Riešili úlohu správne? Urobil niekto chybu vo svojom uvažovaní?
Úlohu spoločne vyriešili správne.
Jana urobila chybu v kroku (1). Celkový počet $4$-členných skupín mala vypočítať ako množinu usporiadaných štvoríc z 30 prvkov, t. j. $$30\cdot29\cdot28\cdot27=657\,720$$
Peter urobil chybu v kroku (2). Počet skupín, v ktorých sú všetci traja priatelia spolu je $30$.
Tomáš urobil chybu v kroku (3). Počet skupín, v ktorých sú spolu presne dvaja priatelia je: $${3\choose2}\cdot{27\choose2}=1\,053$$
Učiteľ môže vytvoriť skupiny s celkovým počtom $1080(= 27 + 1053)$, v ktorých sú aspoň dvaja kamaráti. Pravdepodobnosť, že aspoň dvaja kamaráti budú spolu je: $$\frac{1\,080}{27\,405}\doteq0{,}0394$$